放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動した放物線が、2点 $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通るとき、その放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動した放物線が、2点 $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通るとき、その放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動した放物線の方程式を $y = -2(x-p)^2 + 3(x-p) + 1 + q$ とおきます。ここで、元の放物線の $x$ 軸方向への平行移動量を $p$ 、$y$ 軸方向への平行移動量を $q$ としています。

しかし、頂点の座標などを利用しないのであれば、より簡潔に解くことができます。

$y = -2x^2+3x+1$ を平行移動した放物線の方程式は、$y = -2x^2 + 3x + 1$ の $x$ を $(x-p)$, $y$ を $(y-q)$ で置き換えることで、$y-q = -2(x-p)^2 + 3(x-p) + 1$ と表すことができます。これを整理すると、$y = -2(x-p)^2 + 3(x-p) + 1 + q$ となります。

別の方法として、平行移動しても $x^2$ の係数は変わらないので、求める放物線の方程式を $y = -2x^2 + bx + c$ とおくことができます。この放物線が2点 $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通ることから、以下の2つの式が成り立ちます。

$0 = -2(-2)^2 + b(-2) + c$

$12 = -2(1)^2 + b(1) + c$

これらの式を整理すると、

$0 = -8 - 2b + c$

$12 = -2 + b + c$

となります。これらの式を連立方程式として解きます。

$2b - c = -8$ (1)

$b + c = 14$ (2)

(1) + (2) より、

$3b = 6$

$b = 2$

$b = 2$ を (2) に代入すると、

$2 + c = 14$

$c = 12$

したがって、求める放物線の方程式は $y = -2x^2 + 2x + 12$ となります。

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 2x + 12$