問題5：空集合でない開区間の中に、少なくとも一つ無理数が存在することを示せ。 問題6：$a > 1$ に対して、$a^{\frac{1}{n}} = 1 + b_n$ とおくとき、次の問いに答えよ。（ただし、問題6の「次の問い」は画像に示されていません。）

1. 問題の内容

問題5：空集合でない開区間の中に、少なくとも一つ無理数が存在することを示せ。

問題6：$a > 1$ に対して、$a^{\frac{1}{n}} = 1 + b_n$ とおくとき、次の問いに答えよ。（ただし、問題6の「次の問い」は画像に示されていません。）

2. 解き方の手順

問題5の解き方：

(1) 開区間を $(p, q)$ とする。ここで、$p$ と $q$ は実数で、$p < q$ である。

(2) 無理数 $\sqrt{2}$ を考える。任意の正の実数 $x$ に対して、ある整数 $n$ が存在し、$0 < \frac{\sqrt{2}}{n} < q - p$ が成り立つ。これは、実数の稠密性から言える。

(3) $p < p + \frac{\sqrt{2}}{n} < p + q - p = q$ となるように $n$ を選ぶ。

(4) $p + \frac{\sqrt{2}}{n}$ が無理数であることを示す。もし、$p + \frac{\sqrt{2}}{n}$ が有理数であると仮定すると、$p + \frac{\sqrt{2}}{n} = r$（$r$ は有理数）と書ける。すると、$\frac{\sqrt{2}}{n} = r - p$ となり、$r - p$ は有理数である。

(5) $\sqrt{2} = n(r - p)$ となるが、$r - p$ は有理数なので、$n(r - p)$ も有理数である。しかし、$\sqrt{2}$ は無理数なので矛盾する。

(6) したがって、$p + \frac{\sqrt{2}}{n}$ は無理数である。これは、開区間 $(p, q)$ 内に少なくとも一つ無理数が存在することを示す。

問題6に関しては、画像に具体的な問いが記載されていないため、一般的な解法の手順を示すことはできません。仮に、$b_n$ の性質や極限を求める問題だと仮定して、一般的なアプローチを以下に示します。

* $a^{\frac{1}{n}} = 1 + b_n$ から $b_n = a^{\frac{1}{n}} - 1$ と表せる。

* $n \to \infty$ のとき、$a^{\frac{1}{n}} \to 1$ である（$a > 1$）。

* したがって、$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} (a^{\frac{1}{n}} - 1) = 1 - 1 = 0$ となる。

3. 最終的な答え

問題5の答え：空集合でない開区間の中には、少なくとも一つ無理数が存在することを示した。

問題6の答え：問題文が不完全なため解答できません。もし、$n \to \infty$ のときの $b_n$ の極限を求める問題であれば、$\lim_{n \to \infty} b_n = 0$ が答えとなります。