実数 $t$ がすべての実数を動くとき、直線 $y = 2tx - t^2$ が通過する領域を求め、図示せよ。

1. 問題の内容

実数 $t$ がすべての実数を動くとき、直線 $y = 2tx - t^2$ が通過する領域を求め、図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $t$ について整理します。

$y = 2tx - t^2$

$t^2 - 2xt + y = 0$

この $t$ についての2次方程式が実数解を持つための条件を考えます。判別式を $D$ とすると、

$D/4 = (-x)^2 - 1 \cdot y = x^2 - y \geq 0$

したがって、$y \leq x^2$

これは、放物線 $y = x^2$ の下側の領域（境界を含む）を表します。

通過領域の境界は $y=x^2$ です。

$y = x^2$ 上の点 $(x_0, x_0^2)$ を通過する直線を考えます。

$x_0^2 = 2tx_0 - t^2$ となる $t$ が存在する必要があります。これは、

$t^2 - 2x_0t + x_0^2 = (t-x_0)^2 = 0$ より、$t = x_0$ を解に持つことがわかります。

したがって、直線 $y = 2tx - t^2$ が通過する領域は、$y \leq x^2$ です。

3. 最終的な答え

領域は $y \leq x^2$ であり、これは放物線 $y = x^2$ の下側の領域（境界を含む）です。