数列 $1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$ の第 $k$ 項は $1+3+9+\dots + 3^{k-1}$ と表される。この数列の第1項から第n項までの和を求める。

1. 問題の内容

数列 $1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$ の第 $k$ 項は $1+3+9+\dots + 3^{k-1}$ と表される。この数列の第1項から第n項までの和を求める。

2. 解き方の手順

まず、第k項を求める。第k項は初項1、公比3の等比数列の和であるから、

$\frac{3^k - 1}{3-1} = \frac{3^k - 1}{2}$

求める和は、$\sum_{k=1}^{n} \frac{3^k - 1}{2}$である。

これを計算すると、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (3^k - 1) = \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} 1)$

$\sum_{k=1}^{n} 3^k$は初項3、公比3の等比数列の和であるから、

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

また、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$である。

したがって、求める和は、

$\frac{1}{2} (\frac{3(3^n - 1)}{2} - n) = \frac{1}{2} (\frac{3^{n+1} - 3}{2} - n) = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4} = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$