直線 $l: y = 2tx - t^2$ について、以下の2つの条件で $t$ が変化するときに、直線 $l$ が通過する領域をそれぞれ選択肢の中から選ぶ問題です。 (1) $t$ がすべての実数の範囲を動く場合 (2) $t$ が $0 \leq t \leq 2$ の範囲を動く場合

1. 問題の内容

直線 $l: y = 2tx - t^2$ について、以下の2つの条件で $t$ が変化するときに、直線 $l$ が通過する領域をそれぞれ選択肢の中から選ぶ問題です。

(1) $t$ がすべての実数の範囲を動く場合

(2) $t$ が $0 \leq t \leq 2$ の範囲を動く場合

2. 解き方の手順

(1) $t$ がすべての実数の範囲を動くとき

$y = 2tx - t^2$ を $t$ についての二次方程式として整理すると、

$t^2 - 2xt + y = 0$

$t$ が実数であるためには、この二次方程式の判別式 $D$ が $D \geq 0$ である必要があります。

$D/4 = x^2 - y \geq 0$

したがって、$y \leq x^2$

これは放物線 $y = x^2$ の下側の領域を表します。選択肢の中でこれに該当するのは①です。境界線を含むことに注意してください。

(2) $0 \leq t \leq 2$ の範囲で $t$ が動くとき

$t^2 - 2xt + y = 0$

$t$ についての二次方程式の解が $0 \leq t \leq 2$ の範囲に少なくとも一つ存在するための条件を考えます。

$f(t) = t^2 - 2xt + y$ とおくと、

(i) $f(0) \leq 0$ または $f(2) \leq 0$ のとき、$t$ は $0$ または $2$ の近くに少なくとも一つの解を持つ。

$f(0) = y \leq 0$ または $f(2) = 4 - 4x + y \leq 0$, つまり $y \leq 4x - 4$

(ii) $0 < x < 2$ のとき、軸が区間 $(0, 2)$ にある。さらに判別式 $D/4 = x^2 - y \geq 0$, つまり $y \leq x^2$

以上から、領域を図示すると、選択肢の②に対応することがわかります。$y = x^2$ と $y = 4x - 4$ の交点は $x^2 - 4x + 4 = 0$ より $(x - 2)^2 = 0$, つまり $x = 2, y = 4$ です。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 2