整数 $m$ について、$m^2$ が7の倍数ならば $m$ は7の倍数であることを用いて、$\sqrt{7}$ が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

整数 $m$ について、$m^2$ が7の倍数ならば $m$ は7の倍数であることを用いて、$\sqrt{7}$ が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

$\sqrt{7}$ が無理数であることを背理法を用いて証明する。

(1) $\sqrt{7}$ が有理数であると仮定する。

(2) $\sqrt{7} = \frac{p}{q}$ (ただし、$p$ と $q$ は互いに素な正の整数) と表せる。

(3) 両辺を2乗すると、$7 = \frac{p^2}{q^2}$ となる。

(4) よって、$p^2 = 7q^2$ となる。

(5) $p^2$ は7の倍数である。

(6) 問題文より、$p$ は7の倍数である。

(7) $p = 7k$ ($k$ は整数) とおける。

(8) $p^2 = (7k)^2 = 49k^2$

(9) $p^2 = 7q^2$ に代入すると、$49k^2 = 7q^2$ となる。

(10) 両辺を7で割ると、$7k^2 = q^2$ となる。

(11) $q^2$ は7の倍数である。

(12) よって、$q$ は7の倍数である。

(13) $p$ と $q$ はともに7の倍数となり、互いに素であるという仮定に矛盾する。

(14) よって、$\sqrt{7}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{7}$ は無理数である。