平行四辺形ABCDにおいて、AE=EB、BF:FC = 1:2、CG:GD = 3:2である。線分ECとFGの交点をHとするとき、EH:HCを最も簡単な整数の比で表す。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、AE=EB、BF:FC = 1:2、CG:GD = 3:2である。線分ECとFGの交点をHとするとき、EH:HCを最も簡単な整数の比で表す。

2. 解き方の手順

まず、点E, F, Gの座標を定める。Aを原点(0, 0)とし、B(6, 0)とする。平行四辺形なので、$\vec{AD} = \vec{BC}$となるように点Dの座標を(x, y)とすると、C(6+x, y)となる。

AE=EBよりE(3, 0)。

BF:FC = 1:2よりFの座標は、線分BCを1:2に内分する点であるから、

$F = \frac{2B + 1C}{1+2} = \frac{2(6,0) + (6+x,y)}{3} = \frac{(12+6+x, y)}{3} = (6 + \frac{x}{3}, \frac{y}{3})$

CG:GD = 3:2よりGの座標は、線分CDを3:2に内分する点であるから、

$G = \frac{2C + 3D}{3+2} = \frac{2(6+x,y) + 3(x,y)}{5} = \frac{(12+2x+3x, 2y+3y)}{5} = (\frac{12+5x}{5}, y)$

EとCを通る直線の式は

$\frac{Y - 0}{X - 3} = \frac{y-0}{6+x-3} = \frac{y}{3+x}$

$Y = \frac{y}{3+x}(X-3)$

FとGを通る直線の式は

$\frac{Y - \frac{y}{3}}{X - (6+\frac{x}{3})} = \frac{y - \frac{y}{3}}{\frac{12+5x}{5} - (6+\frac{x}{3})} = \frac{\frac{2}{3}y}{\frac{36+15x-90-5x}{15}} = \frac{\frac{2}{3}y}{\frac{10x-54}{15}} = \frac{10y}{10x-54} = \frac{5y}{5x-27}$

$Y - \frac{y}{3} = \frac{5y}{5x-27} (X - (6+\frac{x}{3}))$

$Y = \frac{5y}{5x-27} (X - (6+\frac{x}{3})) + \frac{y}{3}$

Hは2直線の交点なので、X, Yを連立して解く。

$\frac{y}{3+x}(X-3) = \frac{5y}{5x-27} (X - (6+\frac{x}{3})) + \frac{y}{3}$

$\frac{X-3}{3+x} = \frac{5}{5x-27} (X - (6+\frac{x}{3})) + \frac{1}{3}$

$\frac{X-3}{3+x} = \frac{5}{5x-27} (X - \frac{18+x}{3}) + \frac{1}{3}$

$\frac{3(X-3)}{3+x} = \frac{15}{5x-27} (X - \frac{18+x}{3}) + 1$

$\frac{3X-9}{3+x} - 1 = \frac{15X}{5x-27} - \frac{15(18+x)}{3(5x-27)}$

$\frac{3X-9-3-x}{3+x} = \frac{15X}{5x-27} - \frac{5(18+x)}{5x-27}$

$\frac{2X-12}{3+x} = \frac{15X - 90-5x}{5x-27} = \frac{10X-90}{5x-27} = \frac{10(X-9)}{5x-27}$

$(2X-12)(5x-27) = 10(X-9)(3+x)$

$10xX - 54(X-6)$

$20$

EH:HCを求めるにはメネラウスの定理を使う。

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CH}{HE} = 1$

$\frac{BF}{FC}=1/2$ であり、$AE=EB$なので$AE/EB=1$

よって、$1 \cdot (1/2) \cdot (CH/HE) = 1$

$CH/HE = 2$

$HE/CH = 1/2$

したがって、EH:HC = 3:1

3. 最終的な答え

3:8