平行四辺形ABCDにおいて、AE=EB, BF:FC=1:2, CG:GD=3:2である。線分ECとFGの交点をHとするとき、EH:HCを最も簡単な整数の比で表す。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、AE=EB, BF:FC=1:2, CG:GD=3:2である。線分ECとFGの交点をHとするとき、EH:HCを最も簡単な整数の比で表す。

2. 解き方の手順

この問題を解くために、メネラウスの定理を利用します。

まず、三角形BCGと直線ECについてメネラウスの定理を適用します。

$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CH}{HG} \cdot \frac{GD}{DB} = 1$

AE=EBより、BE/AB = 1/2。

AB=CDなので、BE/CD = 1/2

GD:CD = 2:5なので、GD=(2/5)CD。

よって、BE/GD = (1/2)CD / (2/5)CD = 5/4。

平行四辺形の性質から、AD//BCなので、三角形HGCと三角形HEBは相似。

BF:FC=1:2なので、BC = BF + FC = 1 + 2 = 3。FC = (2/3)BC。

CG:GD=3:2なので、CD = CG + GD = 3 + 2 = 5。CG = (3/5)CD。

ここで、平行四辺形の性質から、BC = AD。

すると、GC/CB = (3/5)CD / AD = (3/5)CD / CD = 3/5

$\frac{BF}{FC} = \frac{1}{2}$

$\frac{CG}{GD} = \frac{3}{2}$

$\frac{AE}{EB} = 1$

三角形CFGと直線BEに関してメネラウスの定理を用いると、

$\frac{CB}{BF} \cdot \frac{FE}{EG} \cdot \frac{GA}{AC} = 1$

ここで、線分FGと線分ECの交点をHとするとき、三角形FCGに直線EHを考えると、メネラウスの定理より、

$\frac{FE}{EC} \cdot \frac{CH}{HG} \cdot \frac{GD}{DF} = 1$

三角形BCGに直線ECに関してメネラウスの定理を用いると、

$\frac{BE}{EA} \cdot \frac{AH}{HC} \cdot \frac{CF}{FB} = 1$

$1 \cdot \frac{CH}{HG} \cdot \frac{3}{2}=1$

$\frac{BE}{EA} = 1$

$\frac{CF}{FB} = 2$

$\frac{CG}{GD} = \frac{3}{2}$

$\frac{BG}{GC} = \frac{2}{3}$

三角形ECGにおいて、直線FHについてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{CF}{FE} \cdot \frac{EH}{HC} \cdot \frac{GA}{AG} = 1$

三角形CFGと直線EHでメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{CE}{EH} \cdot \frac{HF}{FG} \cdot \frac{GD}{DF} = 1$

三角形FCGに直線EHを当てはめてメネラウスの定理を使うと、

$\frac{FC}{CB} \cdot \frac{BH}{HG} \cdot \frac{GD}{DF} = 1$

BCGに線分EHを当てはめてメネラウスの定理を使うと、

$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CH}{HG} \cdot \frac{GD}{DB} = 1$

$\frac{1}{2} \times \frac{CH}{HG} \times \frac{2}{5} = 1$

$\frac{CH}{HG} = 5$

$\frac{EH}{HC} = 5/2$

最終的に、EH:HC = 3:5になります。

3. 最終的な答え

EH:HC = 3:5