平行四辺形ABCDにおいて、AE = EB、BF:FC = 1:2、CG:GD = 3:2である。線分ECとFGの交点をHとするとき、EH:HCをもっとも簡単な整数の比で表す。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、AE = EB、BF:FC = 1:2、CG:GD = 3:2である。線分ECとFGの交点をHとするとき、EH:HCをもっとも簡単な整数の比で表す。

2. 解き方の手順

まず、ベクトルを用いて点Hの位置ベクトルを求めます。

点Aを原点とし、$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AD} = \vec{d}$ とします。

このとき、$\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{b}$、$\vec{AF} = \vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{BC} = \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d}$、$\vec{AG} = \vec{AD} + \frac{3}{5}\vec{DC} = \vec{d} + \frac{3}{5}\vec{b}$、$\vec{AC} = \vec{b} + \vec{d}$となります。

点Hは線分EC上にあるので、実数sを用いて

$\vec{AH} = (1-s)\vec{AE} + s\vec{AC} = (1-s)\frac{1}{2}\vec{b} + s(\vec{b} + \vec{d}) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}s + s)\vec{b} + s\vec{d} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}s)\vec{b} + s\vec{d}$ と表せます。

点Hは線分FG上にあるので、実数tを用いて

$\vec{AH} = (1-t)\vec{AF} + t\vec{AG} = (1-t)(\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d}) + t(\frac{3}{5}\vec{b} + \vec{d}) = (1-t + \frac{3}{5}t)\vec{b} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{3}t + t)\vec{d} = (1 - \frac{2}{5}t)\vec{b} + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}t)\vec{d}$ と表せます。

$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、係数を比較すると、

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}s = 1 - \frac{2}{5}t$

$s = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}t$

これを解くと、

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}t) = 1 - \frac{2}{5}t$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}t = 1 - \frac{2}{5}t$

$\frac{3}{6} + \frac{1}{6} + (\frac{1}{3} + \frac{2}{5})t = 1$

$\frac{4}{6} + (\frac{5+6}{15})t = 1$

$\frac{2}{3} + \frac{11}{15}t = 1$

$\frac{11}{15}t = \frac{1}{3}$

$t = \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{11} = \frac{5}{11}$

$s = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{11} = \frac{1}{3} + \frac{10}{33} = \frac{11 + 10}{33} = \frac{21}{33} = \frac{7}{11}$

$\vec{AH} = (1-s)\vec{AE} + s\vec{AC}$より、EH:HC = s:(1-s) = $\frac{7}{11} : (1 - \frac{7}{11}) = \frac{7}{11} : \frac{4}{11} = 7:4$

3. 最終的な答え

EH:HC = 7:4