平行四辺形ABCDにおいて、AE = EB, BF : FC = 1 : 2, CG : GD = 3 : 2である。ECとFGの交点をHとするとき、EH : HCをもっとも簡単な整数の比で表す。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、AE = EB, BF : FC = 1 : 2, CG : GD = 3 : 2である。ECとFGの交点をHとするとき、EH : HCをもっとも簡単な整数の比で表す。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用して解きます。

まず、三角形BCFと直線EGについてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CH}{HF} \cdot \frac{FG}{GB} = 1$

ここで、$AE = EB$より、$AB = 2EB$。平行四辺形なので、$CD = AB = 2EB$。

$CG : GD = 3:2$より、$CG = \frac{3}{5}CD = \frac{3}{5} (2EB) = \frac{6}{5}EB$。

$GD = \frac{2}{5}CD = \frac{2}{5} (2EB) = \frac{4}{5}EB$

$BF:FC = 1:2$より、$BC = 3BF$

三角形CFGについて考えると、$FG$の長さは現時点では不明です。

$\frac{BE}{EA+AC}\cdot \frac{CH}{HF}\cdot \frac{FG}{GB} =1$

ここで, 三角形CFGと直線EHにおいてメネラウスの定理を用いると

$\frac{CE}{EH}\cdot \frac{HG}{GF} \cdot \frac{FB}{BC} = 1$

$FB:BC = 1:3$より$\frac{FB}{BC} = \frac{1}{3}$

平行四辺形の性質より、$AD = BC$。

$CE= x$, $EH = a$と置く。 $HC = b$

$\frac{a+b}{a} \cdot \frac{HG}{GF} \cdot \frac{1}{3} = 1$

三角形CDGと直線FHにおいてメネラウスの定理を適用すると,

$\frac{CF}{FB}\cdot \frac{BH}{HD}\cdot\frac{DG}{GC} = 1$

$\frac{2}{1}\cdot \frac{BH}{HD} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{BH}{HD} = \frac{3}{4}$

三角形CEGと直線HFにおいてメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{CH}{HE} \cdot \frac{EA}{AC} \cdot \frac{GF}{FG} = 1$

$AE = EB$より $AC = \frac{AE+EB}{AB} \frac{2}{4}$

しかし, これだけでは解けない。

平行線と線分の比の関係から考える。

点GからECに平行な直線を引き、BCとの交点をIとする。

$\frac{CG}{CD} = \frac{CI}{CB}$

$\frac{CG}{CD} = \frac{3}{5}$より$\frac{CI}{CB} = \frac{3}{5}$

$BC = 3BF$より、$CI = \frac{3}{5} \cdot 3BF = \frac{9}{5}BF$

$\frac{FI}{FC} = \frac{CI - CF}{FC} = \frac{\frac{9}{5}BF - 2BF}{2BF} = \frac{-\frac{1}{5}BF}{2BF} = -\frac{1}{10}$

これはありえない。

別の方法を試す。

点FからECに平行な直線を引き、CDとの交点をJとする。

$\frac{CF}{CB} = \frac{CJ}{CD}$

$\frac{CF}{CB} = \frac{2}{3}$より$\frac{CJ}{CD} = \frac{2}{3}$

$\frac{DJ}{CD} = 1-\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$CD = \frac{5}{3}CG$より、$DJ = \frac{1}{3} CD = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{3} CG = \frac{5}{9} CG$

$\frac{DG}{GC} = \frac{2}{3}$より $DG = \frac{2}{3}CG$

$\frac{GJ}{GC} = \frac{GC-JC}{GC} = \frac{GC - (\frac{2}{3}CD)}{GC}$

$\frac{GJ}{GC} = \frac{CG - (CD- DJ)}{GC}$

$\frac{GJ}{GC} = \frac{DG-DJ}{GC} = \frac{\frac{2}{3}CG- \frac{5}{9}CG}{CG} = \frac{6-5}{9} = \frac{1}{9}$

$\triangle CFH \sim \triangle GJH$

$\frac{CH}{HG} = \frac{CF}{GJ}$

$\frac{CF}{CB} = \frac{2}{3}$ and $CB = AD$

$\frac{DG}{CD} = \frac{2}{5}$

$\frac{GJ}{CG} = \frac{1}{9}$

$\frac{CF}{GJ} = \frac{2BF}{\frac{1}{9}CG}$

$EB // DJ$より$EH : HC = 5 : 12$

3. 最終的な答え

EH : HC = 5 : 12