平行四辺形ABCDにおいて、AE = EB、BF : FC = 1 : 2、CG : GD = 3 : 2 である。ECとFGの交点をHとするとき、EH : HCを最も簡単な整数の比で表す。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、AE = EB、BF : FC = 1 : 2、CG : GD = 3 : 2 である。ECとFGの交点をHとするとき、EH : HCを最も簡単な整数の比で表す。

2. 解き方の手順

この問題を解くために、メネラウスの定理を利用する。

まず、三角形BCFと直線EHに着目する。メネラウスの定理より、

$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CH}{HF} \cdot \frac{FA}{AB} = 1$

ここで、

$BE = \frac{1}{2}AB$

$EC = ? \,\,$ (後で求める)

$BF:FC = 1:2$

$FA = FC+CA = 2BF + AB$

次に、三角形CDGと直線EHに着目することを考える。

ここで、ベクトルを用いると、

$\vec{AE}=\frac{1}{2}\vec{AB}$

$\vec{BF}=\frac{1}{3}\vec{BC}$

$\vec{CG}=\frac{3}{5}\vec{CD}=\frac{3}{5}\vec{BA}$

$\vec{DG}=\frac{2}{5}\vec{DC}=\frac{2}{5}\vec{AB}$

点HはECとFG上にあるので、

$\vec{EH}=s\vec{EC}$

$\vec{FH}=t\vec{FG}$とおける。

$\vec{EC}=\vec{BC}-\vec{BE}=\vec{BC}-\frac{1}{2}\vec{BA}=\vec{BC}+\frac{1}{2}\vec{AB}$

$\vec{FG}=\vec{CG}-\vec{CF}=\frac{3}{5}\vec{BA}-\frac{2}{3}\vec{CB}=-\frac{3}{5}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{BC}$

$\vec{AH}=\vec{AE}+\vec{EH}=\frac{1}{2}\vec{AB}+s(\vec{BC}+\frac{1}{2}\vec{AB})=\frac{1}{2}\vec{AB}+s\vec{BC}+\frac{s}{2}\vec{AB}=\frac{1+s}{2}\vec{AB}+s\vec{BC}$

$\vec{AH}=\vec{AF}+\vec{FH}=\vec{AB}+\vec{BF}+t(\vec{FG})=\vec{AB}+\frac{1}{3}\vec{BC}+t(-\frac{3}{5}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{BC})$

$=(1-\frac{3t}{5})\vec{AB}+(\frac{1}{3}+\frac{2t}{3})\vec{BC}$

$\frac{1+s}{2}=1-\frac{3t}{5}$

$s=\frac{1}{3}+\frac{2t}{3}$

$\frac{1+(\frac{1}{3}+\frac{2t}{3})}{2}=1-\frac{3t}{5}$

$\frac{4/3+2t/3}{2}=1-\frac{3t}{5}$

$\frac{2}{3}+\frac{t}{3}=1-\frac{3t}{5}$

$\frac{15\cdot2}{3}+\frac{15t}{3}=15-\frac{15\cdot3t}{5}$

$10+5t=15-9t$

$14t=5$

$t=\frac{5}{14}$

$s=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}(\frac{5}{14})=\frac{1}{3}+\frac{5}{21}=\frac{7}{21}+\frac{5}{21}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$

$\vec{EH}=\frac{4}{7}\vec{EC}$なので、

$EH:HC=4:3$

3. 最終的な答え

EH : HC = 4 : 3