底の変換公式を利用して $\log_4 3 \cdot \log_9 32$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

底の変換公式を利用して $\log_4 3 \cdot \log_9 32$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を使って、それぞれの対数を底を2とする対数に変換します。

底の変換公式は、$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ です。

$\log_4 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3}{\log_2 2^2} = \frac{\log_2 3}{2}$

$\log_9 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 9} = \frac{\log_2 2^5}{\log_2 3^2} = \frac{5}{2\log_2 3}$

したがって、

$\log_4 3 \cdot \log_9 32 = \frac{\log_2 3}{2} \cdot \frac{5}{2\log_2 3} = \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{4}$