曲線 $y = -x^3 + 2x^2 + 3x$ と $x$軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^3 + 2x^2 + 3x$ と $x$軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$軸との交点を求めます。

$y = -x^3 + 2x^2 + 3x = -x(x^2 - 2x - 3) = -x(x - 3)(x + 1)$

したがって、曲線と$x$軸の交点は $x = -1, 0, 3$ です。

次に、それぞれの区間における定積分を計算します。

区間 $[-1, 0]$ における定積分は、

$\int_{-1}^{0} (-x^3 + 2x^2 + 3x) dx = \left[-\frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2\right]_{-1}^{0}$

$= 0 - \left(-\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{3}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{3}{2} = \frac{3 + 8 - 18}{12} = -\frac{7}{12}$

面積なので絶対値をとり、$\frac{7}{12}$ となります。

区間 $[0, 3]$ における定積分は、

$\int_{0}^{3} (-x^3 + 2x^2 + 3x) dx = \left[-\frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2\right]_{0}^{3}$

$= \left(-\frac{1}{4}(3)^4 + \frac{2}{3}(3)^3 + \frac{3}{2}(3)^2\right) - 0 = -\frac{81}{4} + 18 + \frac{27}{2} = \frac{-81 + 72 + 54}{4} = \frac{45}{4}$

2つの部分の面積の和は、

$\frac{7}{12} + \frac{45}{4} = \frac{7}{12} + \frac{135}{12} = \frac{142}{12} = \frac{71}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{71}{6}$