全体集合 $U$ とその部分集合 $A, B$ について、以下の情報が与えられています。 $n(U) = 100, n(A) = 60, n(B) = 40, n(A \cap B) = 15$ このとき、以下の集合の要素の個数を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A, B$ について、以下の情報が与えられています。

$n(U) = 100, n(A) = 60, n(B) = 40, n(A \cap B) = 15$

このとき、以下の集合の要素の個数を求めます。

(1) $\overline{A}$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ の要素の個数:

$\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$ で計算できます。

$n(\overline{A}) = 100 - 60 = 40$

(2) $A \cup B$ の要素の個数:

$A \cup B$ の要素の個数は、和集合の公式 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ を用いて計算できます。

$n(A \cup B) = 60 + 40 - 15 = 85$

(3) $\overline{A} \cap B$ の要素の個数:

$\overline{A} \cap B$ は、$B$ のうち $A$ に含まれない要素の集合です。これは、$B$ から $A \cap B$ を除いたものなので、$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$ で計算できます。

$n(\overline{A} \cap B) = 40 - 15 = 25$

(4) $A \cap \overline{B}$ の要素の個数:

$A \cap \overline{B}$ は、$A$ のうち $B$ に含まれない要素の集合です。これは、$A$ から $A \cap B$ を除いたものなので、$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$ で計算できます。

$n(A \cap \overline{B}) = 60 - 15 = 45$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A}) = 40$

(2) $n(A \cup B) = 85$

(3) $n(\overline{A} \cap B) = 25$

(4) $n(A \cap \overline{B}) = 45$