平行四辺形ABCDにおいて、∠Cの二等分線とADの交点をEとする。以下の2つの問いに答える。 (1) ∠AECの大きさを求めよ。 (2) CEの長さを求めよ。 ここで、AB = 8cm、BC = 10cm、∠ABC = 60°である。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、∠Cの二等分線とADの交点をEとする。以下の2つの問いに答える。

(1) ∠AECの大きさを求めよ。

(2) CEの長さを求めよ。

ここで、AB = 8cm、BC = 10cm、∠ABC = 60°である。

2. 解き方の手順

(1) ∠AECの大きさを求める。

平行四辺形ABCDなので、AD // BCである。

∠BCE = ∠ECD (∠Cの二等分線より)

∠BCE = ∠AEC (AD // BCの錯角より)

したがって、∠ECD = ∠AEC

∠BCD = 180° - ∠ABC = 180° - 60° = 120° (平行四辺形の隣り合う角の和は180°)

∠BCE = ∠ECD = ∠BCD / 2 = 120° / 2 = 60°

したがって、∠AEC = ∠BCE = 60°

(2) CEの長さを求める。

△BCEにおいて、∠BCE = 60°、∠ABC = 60°より、∠BEC = 180° - ∠BCE - ∠CBEとなる。平行四辺形ABCDより、∠BAE+∠ABC=180°、∠ABC=60°なので、∠BAE=120°。錯角より∠AEC=∠BCE=60°なので、△AECは二等辺三角形となる。△AECはAE=ACとなる。∠AEC=60°であるから、△AECは正三角形である。

∠AEC = 60°であるから、△AECにおいてAE=CEとなる。

∠AEC=∠ECD=60°より、△CDEは二等辺三角形。△AECにおいて、∠AEC=∠ECD=60°より、△CDEは正三角形である。

AE = BC - BE (AD = BCより)

△BCEにおいて、∠ABC=60°、∠BCE=∠AEC=60°であるから、△BCEも正三角形。

BC = BE = CE = 10cm

△ABEにおいて、AE=8。

CE = 10cm

3. 最終的な答え

(1) ∠AEC = 60°

(2) CE = 10 cm