与えられた等式 $f(x) = 3x^2 - x\int_0^2 f(t) dt + 2$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた等式 $f(x) = 3x^2 - x\int_0^2 f(t) dt + 2$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、定積分 $\int_0^2 f(t) dt$ は定数なので、これを $A$ とおく。つまり、

$$A = \int_0^2 f(t) dt$$

とおく。すると、与えられた等式は

$$f(x) = 3x^2 - Ax + 2$$

となる。

次に、この式を $t$ で置き換えて、0 から 2 まで積分する。

$$\int_0^2 f(t) dt = \int_0^2 (3t^2 - At + 2) dt$$

左辺は $A$ であったから、

$$A = \int_0^2 (3t^2 - At + 2) dt$$

右辺を計算する。

$$A = [t^3 - \frac{A}{2}t^2 + 2t]_0^2 = (2^3 - \frac{A}{2}2^2 + 2\times 2) - (0) = 8 - 2A + 4 = 12 - 2A$$

これより、

$$A = 12 - 2A$$

$$3A = 12$$

$$A = 4$$

したがって、$f(x)$ は

$$f(x) = 3x^2 - 4x + 2$$

となる。

3. 最終的な答え

$f(x) = 3x^2 - 4x + 2$