与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。 $\int \sqrt{\frac{x}{x+1}} - \sqrt{x+1} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。

$\int \sqrt{\frac{x}{x+1}} - \sqrt{x+1} \, dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を2つの部分に分けます。

$\int \sqrt{\frac{x}{x+1}} \, dx - \int \sqrt{x+1} \, dx$

第2項の積分は簡単です。

$\int \sqrt{x+1} \, dx = \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} + C_1$

第1項の積分は少し難しいので、別の変数に置き換える必要があります。

$u = \sqrt{\frac{x}{x+1}}$ とおくと、$u^2 = \frac{x}{x+1}$となります。

$u^2(x+1) = x$

$u^2 x + u^2 = x$

$u^2 = x - u^2 x$

$u^2 = x(1 - u^2)$

$x = \frac{u^2}{1 - u^2}$

$dx = \frac{2u(1-u^2) - u^2(-2u)}{(1-u^2)^2} \, du = \frac{2u - 2u^3 + 2u^3}{(1-u^2)^2} \, du = \frac{2u}{(1-u^2)^2} \, du$

したがって、

$\int \sqrt{\frac{x}{x+1}} \, dx = \int u \frac{2u}{(1-u^2)^2} \, du = \int \frac{2u^2}{(1-u^2)^2} \, du$

$\frac{2u^2}{(1-u^2)^2} = \frac{2u^2}{(1-u)^2 (1+u)^2}$

これを部分分数に分解してみましょう。

$\frac{2u^2}{(1-u)^2 (1+u)^2} = \frac{A}{1-u} + \frac{B}{(1-u)^2} + \frac{C}{1+u} + \frac{D}{(1+u)^2}$

$2u^2 = A(1-u)(1+u)^2 + B(1+u)^2 + C(1+u)(1-u)^2 + D(1-u)^2$

$u=1$の時、$2 = B(2^2) \implies B = \frac{1}{2}$

$u=-1$の時、$2 = D(2^2) \implies D = \frac{1}{2}$

$u=0$の時、$0 = A + B + C + D \implies A+C = -1$

$u=2$の時、$8 = A(-1)(9) + B(9) + C(3)(1) + D(1) \implies 8 = -9A + \frac{9}{2} + 3C + \frac{1}{2} \implies 8 = -9A + 3C + 5 \implies 3 = -9A + 3C \implies 1 = -3A + C \implies C = 1 + 3A$

$A + C = -1 \implies A + 1 + 3A = -1 \implies 4A = -2 \implies A = -\frac{1}{2}$

$C = 1 + 3A = 1 + 3(-\frac{1}{2}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{2u^2}{(1-u^2)^2} = -\frac{1}{2(1-u)} + \frac{1}{2(1-u)^2} -\frac{1}{2(1+u)} + \frac{1}{2(1+u)^2}$

$\int \frac{2u^2}{(1-u^2)^2} \, du = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{1-u} \, du + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(1-u)^2} \, du - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+u} \, du + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(1+u)^2} \, du$

$= \frac{1}{2} \ln|1-u| + \frac{1}{2(1-u)} - \frac{1}{2} \ln|1+u| - \frac{1}{2(1+u)} + C_2$

$= \frac{1}{2} \ln|\frac{1-u}{1+u}| + \frac{1}{2} (\frac{1}{1-u} - \frac{1}{1+u}) + C_2 = \frac{1}{2} \ln|\frac{1-u}{1+u}| + \frac{1}{2} (\frac{1+u - (1-u)}{(1-u)(1+u)}) + C_2$

$= \frac{1}{2} \ln|\frac{1-u}{1+u}| + \frac{1}{2} (\frac{2u}{1-u^2}) + C_2 = \frac{1}{2} \ln|\frac{1-u}{1+u}| + \frac{u}{1-u^2} + C_2$

$u = \sqrt{\frac{x}{x+1}}$ より、$1-u^2 = 1 - \frac{x}{x+1} = \frac{1}{x+1}$であり、$\frac{1-u}{1+u} = \frac{1-\sqrt{\frac{x}{x+1}}}{1+\sqrt{\frac{x}{x+1}}} = \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$

よって、

$\frac{u}{1-u^2} = \sqrt{\frac{x}{x+1}} (x+1) = \sqrt{x(x+1)}$

$\frac{1}{2} \ln|\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}| + \sqrt{x(x+1)} + C_2$

$= \frac{1}{2} \ln|(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})^2| + \sqrt{x(x+1)} + C_2 = \ln|\sqrt{x+1} - \sqrt{x}| + \sqrt{x(x+1)} + C_2$

$\int \sqrt{\frac{x}{x+1}} \, dx - \int \sqrt{x+1} \, dx = \ln|\sqrt{x+1} - \sqrt{x}| + \sqrt{x(x+1)} - \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} + C$

3. 最終的な答え

$\ln|\sqrt{x+1} - \sqrt{x}| + \sqrt{x(x+1)} - \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} + C$