関数 $f(x) = \sin x \cos 2x$ のマクローリン級数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin x \cos 2x$ のマクローリン級数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の積和の公式を用いて $f(x)$ を変形します。

積和の公式は以下の通りです。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

この公式を適用すると、

$f(x) = \sin x \cos 2x = \frac{1}{2}[\sin(x+2x) + \sin(x-2x)] = \frac{1}{2}[\sin(3x) + \sin(-x)] = \frac{1}{2}[\sin(3x) - \sin(x)]$

次に、$\sin x$ のマクローリン展開を利用します。$\sin x$ のマクローリン展開は

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$

したがって、$\sin(3x)$ のマクローリン展開は

$\sin(3x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} (3x)^{2n+1} = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \frac{(3x)^5}{5!} - \frac{(3x)^7}{7!} + \dots = 3x - \frac{27x^3}{3!} + \frac{243x^5}{5!} - \frac{2187x^7}{7!} + \dots$

よって、$f(x)$ のマクローリン展開は

$f(x) = \frac{1}{2}[\sin(3x) - \sin(x)] = \frac{1}{2}\left[ \left( 3x - \frac{27x^3}{3!} + \frac{243x^5}{5!} - \frac{2187x^7}{7!} + \dots \right) - \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ (3-1)x + \left(-\frac{27}{3!} + \frac{1}{3!} \right)x^3 + \left(\frac{243}{5!} - \frac{1}{5!} \right)x^5 + \left(-\frac{2187}{7!} + \frac{1}{7!} \right)x^7 + \dots \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ 2x - \frac{26}{3!}x^3 + \frac{242}{5!}x^5 - \frac{2186}{7!}x^7 + \dots \right]$

$= x - \frac{13}{3!}x^3 + \frac{121}{5!}x^5 - \frac{1093}{7!}x^7 + \dots$

$= x - \frac{13}{6}x^3 + \frac{121}{120}x^5 - \frac{1093}{5040}x^7 + \dots$

$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(3^{2n+1}-1)}{2(2n+1)!}x^{2n+1}$

3. 最終的な答え

$f(x) = x - \frac{13}{6}x^3 + \frac{121}{120}x^5 - \frac{1093}{5040}x^7 + \dots$

または、

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(3^{2n+1}-1)}{2(2n+1)!}x^{2n+1}$