次の関数 $f(x)$ と $g(x)$ のマクローリン級数を求める。 (1) $f(x) = \sin x \cos 2x$ (2) $g(x) = \frac{x^3 - 7x - 2}{x^2 - 2x - 3}$

1. 問題の内容

次の関数 $f(x)$ と $g(x)$ のマクローリン級数を求める。

(1) $f(x) = \sin x \cos 2x$

(2) $g(x) = \frac{x^3 - 7x - 2}{x^2 - 2x - 3}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sin x \cos 2x$ のマクローリン級数を求める。

まず、三角関数の積和の公式を用いる。

$\sin x \cos y = \frac{1}{2} [\sin(x+y) + \sin(x-y)]$

したがって、

$f(x) = \sin x \cos 2x = \frac{1}{2} [\sin(x+2x) + \sin(x-2x)] = \frac{1}{2} [\sin 3x + \sin(-x)] = \frac{1}{2} [\sin 3x - \sin x]$

$\sin x$ のマクローリン級数は、

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\sin 3x$ のマクローリン級数は、$\sin x$ の $x$ を $3x$ に置き換えることで得られる。

$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \frac{(3x)^5}{5!} - \frac{(3x)^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (3x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

よって、$f(x)$ のマクローリン級数は、

$f(x) = \frac{1}{2} [\sin 3x - \sin x] = \frac{1}{2} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right]$

$= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (3^{2n+1} - 1) x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (3^{2n+1} - 1) x^{2n+1}}{2(2n+1)!}$

(2) $g(x) = \frac{x^3 - 7x - 2}{x^2 - 2x - 3}$ のマクローリン級数を求める。

まず、多項式の割り算を行う。

$\frac{x^3 - 7x - 2}{x^2 - 2x - 3} = x + 2 + \frac{-2x+4}{x^2 - 2x - 3}$

次に、$\frac{-2x+4}{x^2 - 2x - 3}$ を部分分数分解する。

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$ なので、

$\frac{-2x+4}{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}$

$-2x+4 = A(x+1) + B(x-3)$

$x = 3$ のとき、$-2(3) + 4 = A(3+1) \Rightarrow -2 = 4A \Rightarrow A = -\frac{1}{2}$

$x = -1$ のとき、$-2(-1) + 4 = B(-1-3) \Rightarrow 6 = -4B \Rightarrow B = -\frac{3}{2}$

したがって、

$\frac{-2x+4}{x^2 - 2x - 3} = -\frac{1}{2} \frac{1}{x-3} - \frac{3}{2} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{2} \frac{1}{3-x} - \frac{3}{2} \frac{1}{x+1}$

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ であることを利用する。

$\frac{1}{3-x} = \frac{1}{3(1-\frac{x}{3})} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{3})^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{3^{n+1}}$

$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

よって、$g(x)$ のマクローリン級数は、

$g(x) = x + 2 + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{3^{n+1}} - \frac{3}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = x + 2 + \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2 \cdot 3^{n+1}} - \frac{3}{2} (-1)^n \right) x^n$

$= 2 + x + \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2 \cdot 3^{n+1}} - \frac{3}{2} (-1)^n \right) x^n$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (3^{2n+1} - 1) x^{2n+1}}{2(2n+1)!}$

(2) $g(x) = 2 + x + \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2 \cdot 3^{n+1}} - \frac{3}{2} (-1)^n \right) x^n$