与えられた6つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。 (1) $y = (\sin x)^x$ (2) $y = e^{-2x} \cos 3x$ (3) $y = \ln |\tan x|$ (4) $y = -\frac{1}{6} \cot^2 (\pi - 3x)$ (5) $y = 2 \sec^2 x \tan x$ (6) $y = \ln |\csc x|$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

(1) $y = (\sin x)^x$

(2) $y = e^{-2x} \cos 3x$

(3) $y = \ln |\tan x|$

(4) $y = -\frac{1}{6} \cot^2 (\pi - 3x)$

(5) $y = 2 \sec^2 x \tan x$

(6) $y = \ln |\csc x|$

2. 解き方の手順

(1) $y = (\sin x)^x$

両辺の自然対数をとると、 $\ln y = x \ln (\sin x)$。

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln (\sin x) + x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \ln (\sin x) + x \cot x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = y (\ln (\sin x) + x \cot x) = (\sin x)^x (\ln (\sin x) + x \cot x)$

(2) $y = e^{-2x} \cos 3x$

積の微分法を用いると、

$\frac{dy}{dx} = -2 e^{-2x} \cos 3x - 3 e^{-2x} \sin 3x = e^{-2x} (-2 \cos 3x - 3 \sin 3x)$

(3) $y = \ln |\tan x|$

合成関数の微分法を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2 \csc 2x$

(4) $y = -\frac{1}{6} \cot^2 (\pi - 3x)$

まず、$\cot (\pi - 3x) = - \cot (-3x) = \cot (3x)$なので、$y = -\frac{1}{6} \cot^2 (3x)$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{6} \cdot 2 \cot (3x) \cdot (-\csc^2 (3x)) \cdot 3 = \cot (3x) \csc^2 (3x)$

(5) $y = 2 \sec^2 x \tan x$

積の微分法を用いると、

$\frac{dy}{dx} = 2 (2 \sec x (\sec x \tan x) \tan x + \sec^2 x \sec^2 x) = 2 (2 \sec^2 x \tan^2 x + \sec^4 x) = 4 \sec^2 x \tan^2 x + 2 \sec^4 x$

$= 2 \sec^2 x (2 \tan^2 x + \sec^2 x) = 2 \sec^2 x (2 \tan^2 x + 1 + \tan^2 x) = 2 \sec^2 x (3 \tan^2 x + 1)$

(6) $y = \ln |\csc x|$

合成関数の微分法を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\csc x} (-\csc x \cot x) = -\cot x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x (\ln (\sin x) + x \cot x)$

(2) $\frac{dy}{dx} = e^{-2x} (-2 \cos 3x - 3 \sin 3x)$

(3) $\frac{dy}{dx} = 2 \csc 2x$

(4) $\frac{dy}{dx} = \cot (3x) \csc^2 (3x)$

(5) $\frac{dy}{dx} = 4 \sec^2 x \tan^2 x + 2 \sec^4 x = 2 \sec^2 x (3 \tan^2 x + 1)$

(6) $\frac{dy}{dx} = -\cot x$