自然数 $n$ について、$n(n+3)$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数であることを証明する問題です。$n$ が3の倍数でないと仮定した場合に矛盾が生じることを示すことで証明します。空欄アとイに当てはまる式を答えます。

1. 問題の内容

自然数 $n$ について、$n(n+3)$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数であることを証明する問題です。$n$ が3の倍数でないと仮定した場合に矛盾が生じることを示すことで証明します。空欄アとイに当てはまる式を答えます。

2. 解き方の手順

まず、$n=3a-2$ のとき、$n(n+3)$ を計算し、$3(\text{ア})-2$ の形に表します。

$n(n+3) = (3a-2)(3a+1) = 9a^2 + 3a - 6a - 2 = 9a^2 - 3a - 2 = 3(3a^2 - a) - 2$

したがって、アに当てはまるのは $3a^2 - a$ です。

次に、$n=3a-1$ のとき、$n(n+3)$ を計算し、$3(\text{イ})-2$ の形に表します。

$n(n+3) = (3a-1)(3a+2) = 9a^2 + 6a - 3a - 2 = 9a^2 + 3a - 2 = 3(3a^2 + a) - 2$

したがって、イに当てはまるのは $3a^2 + a$ です。

3. 最終的な答え

ア: $3a^2 - a$

イ: $3a^2 + a$