全体集合 $U$ を15以下の自然数全体の集合とする。$U$ の部分集合 $A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$ と $B = \{1, 4, 6, 7, 9\}$ について、以下の集合の要素の個数を求める。 (1) $n(A)$ (2) $n(A \cap B)$ (3) $n(A \cup B)$ (4) $n(\overline{B})$ (5) $n(\overline{A \cup B})$ (6) $n(\overline{A} \cap B)$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を15以下の自然数全体の集合とする。$U$ の部分集合 $A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$ と $B = \{1, 4, 6, 7, 9\}$ について、以下の集合の要素の個数を求める。

(1) $n(A)$

(2) $n(A \cap B)$

(3) $n(A \cup B)$

(4) $n(\overline{B})$

(5) $n(\overline{A \cup B})$

(6) $n(\overline{A} \cap B)$

2. 解き方の手順

(1) $n(A)$：集合 $A$ の要素の個数を数える。$A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$ より、要素は8個。

(2) $n(A \cap B)$：集合 $A$ と $B$ の共通部分の要素の個数を数える。$A \cap B = \{1, 4, 7, 9\}$ より、要素は4個。

(3) $n(A \cup B)$：集合 $A$ と $B$ の和集合の要素の個数を数える。$A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 15\}$ より、要素は9個。

(4) $n(\overline{B})$：集合 $B$ の補集合の要素の個数を数える。全体集合 $U$ は15以下の自然数なので、$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$ である。$B = \{1, 4, 6, 7, 9\}$ なので、$\overline{B} = U - B = \{2, 3, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$ となる。よって、$n(\overline{B}) = 10$。

(5) $n(\overline{A \cup B})$：集合 $A \cup B$ の補集合の要素の個数を数える。$A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 15\}$ なので、$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{3, 5, 10, 11, 13, 14\}$ となる。よって、$n(\overline{A \cup B}) = 6$。

(6) $n(\overline{A} \cap B)$：集合 $A$ の補集合と $B$ の共通部分の要素の個数を数える。$A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$ なので、$\overline{A} = U - A = \{3, 5, 6, 10, 11, 13, 14\}$ となる。$\overline{A} \cap B = \{6\}$ よって、$n(\overline{A} \cap B) = 1$。

3. 最終的な答え

(1) $n(A) = 8$

(2) $n(A \cap B) = 4$

(3) $n(A \cup B) = 9$

(4) $n(\overline{B}) = 10$

(5) $n(\overline{A \cup B}) = 6$

(6) $n(\overline{A} \cap B) = 1$