与えられた二つの命題を、対偶を用いて証明する問題です。 (1) $x, y$が実数のとき、$x^2 + y^2 < 8$ ならば $x < 2$ または $y < 2$ である。 (2) $n$が整数で、$n^2$が3の倍数ならば、$n$も3の倍数である。

1. 問題の内容

与えられた二つの命題を、対偶を用いて証明する問題です。

(1) $x, y$が実数のとき、$x^2 + y^2 < 8$ ならば $x < 2$ または $y < 2$ である。

(2) $n$が整数で、$n^2$が3の倍数ならば、$n$も3の倍数である。

2. 解き方の手順

(1) 対偶を考える:

元の命題「$x^2 + y^2 < 8$ ならば $x < 2$ または $y < 2$ である」の対偶は、

「$x \geq 2$ かつ $y \geq 2$ ならば $x^2 + y^2 \geq 8$ である」となります。

この対偶が真であることを証明します。

$x \geq 2$ かつ $y \geq 2$ のとき、$x^2 \geq 4$ かつ $y^2 \geq 4$ が成り立ちます。

したがって、$x^2 + y^2 \geq 4 + 4 = 8$ となり、$x^2 + y^2 \geq 8$ が成立します。

よって、対偶が真であるため、元の命題も真です。

(2) 対偶を考える:

元の命題「$n^2$が3の倍数ならば、$n$も3の倍数である」の対偶は、

「$n$が3の倍数でないならば、$n^2$も3の倍数でない」となります。

この対偶が真であることを証明します。

$n$が3の倍数でないとき、$n$は$3k+1$または$3k+2$（$k$は整数）と表せます。

(i) $n = 3k + 1$ の場合：

$n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ となり、$n^2$ は3で割ると1余るため、3の倍数ではありません。

(ii) $n = 3k + 2$ の場合：

$n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ となり、$n^2$ は3で割ると1余るため、3の倍数ではありません。

したがって、$n$が3の倍数でないならば、$n^2$も3の倍数でないことが示されました。

よって、対偶が真であるため、元の命題も真です。

3. 最終的な答え

(1) $x, y$が実数のとき、$x^2 + y^2 < 8$ ならば $x < 2$ または $y < 2$ である。 (真)

(2) $n$が整数で、$n^2$が3の倍数ならば、$n$も3の倍数である。 (真)