与えられた行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 5 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 2 & 3 \\

2 & 1 & 2 & 3 \\

-1 & 2 & 1 & 2 \\

2 & 3 & 3 & 5

\end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列に関する余因子展開を行います。ここでは、1行目に関して余因子展開を行います。

$\det(A) = 1 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 2 \cdot C_{13} + 3 \cdot C_{14}$

ここで、$C_{ij}$は$(i, j)$成分の余因子です。

まず、$C_{11}$を計算します。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 5 \end{bmatrix} = 1(5 - 6) - 2(10 - 6) + 3(6 - 3) = -1 - 8 + 9 = 0$

次に、$C_{12}$を計算します。

$C_{12} = (-1)^{1+2} \det \begin{bmatrix} 2 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \end{bmatrix} = -1(2(5-6) -2(-5-4) + 3(-3-2)) = -1(-2 + 18 - 15) = -1(1) = -1$

次に、$C_{13}$を計算します。

$C_{13} = (-1)^{1+3} \det \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \end{bmatrix} = 1(2(10-6) - 1(-5-4) + 3(-3-4)) = 8 + 9 - 21 = -4$

次に、$C_{14}$を計算します。

$C_{14} = (-1)^{1+4} \det \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix} = -1(2(6-3) - 1(-3-2) + 2(-3-4)) = -1(6 + 5 - 14) = -1(-3) = 3$

よって、

$\det(A) = 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot (-4) + 3 \cdot 3 = 0 - 2 - 8 + 9 = -1$

3. 最終的な答え

-1