連立方程式 $\begin{cases} ax + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$ が与えられています。この連立方程式の解が無数にあるときの $a$ の値を求め、また、その時の連立方程式の解 $x$ と $y$ を $a$ を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

連立方程式 $\begin{cases} ax + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$ が与えられています。この連立方程式の解が無数にあるときの $a$ の値を求め、また、その時の連立方程式の解 $x$ と $y$ を $a$ を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式が解を無数に持つ条件を考えます。

連立方程式が解を無数に持つのは、2つの式が実質的に同じ式である場合です。つまり、一方の式を定数倍するともう一方の式になる場合です。

2番目の式を2で割ると、

$x + 2y = 4$

となります。

これが1番目の式 $ax + 2y = 4$ と同じになるためには、$a=1$ でなければなりません。

したがって、$a = 1$ のとき、連立方程式は

$x + 2y = 4$

となります。

この式から $x$ を $y$ で表すと、

$x = 4 - 2y$

となります。

$y$ について解くと、

$2y = 4-x$

$y = \frac{4-x}{2}$

となります。

問題文から、$x$ を表す式は $a$ を含まない定数の形で求める必要があり、$y$ を表す式も同様です。

そこで、$x + 2y = 4$ を満たす適当な $x$ と $y$ の組を見つけてみます。例えば、$y = 1$ のとき、$x = 4 - 2(1) = 2$ となります。また、$x = 0$ のとき、$y = 2$ となります。

問題文の形式に合うように、具体的な値を代入して解を求めていきます。

$a = 1$ のとき、連立方程式は $x + 2y = 4$ となります。このとき、解は無数に存在します。

3. 最終的な答え

ア：1

イ：2

ウ：1