数列 $a_n = n^3 - 7n + 9$ について、以下の問題を解く。 (1) $a_1$ を求める。 (2) $a_2$ を求める。 (3) $a_3$ を求める。 (4) $a_n$ がある整数の倍数になることを推測し、その整数を求め、数学的帰納法を用いて証明する。 (5) $a_n$ が素数となるような整数 $n$ をすべて求める。

1. 問題の内容

数列 $a_n = n^3 - 7n + 9$ について、以下の問題を解く。

(1) $a_1$ を求める。

(2) $a_2$ を求める。

(3) $a_3$ を求める。

(4) $a_n$ がある整数の倍数になることを推測し、その整数を求め、数学的帰納法を用いて証明する。

(5) $a_n$ が素数となるような整数 $n$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$ を求める。

$a_1 = 1^3 - 7(1) + 9 = 1 - 7 + 9 = 3$

(2) $a_2$ を求める。

$a_2 = 2^3 - 7(2) + 9 = 8 - 14 + 9 = 3$

(3) $a_3$ を求める。

$a_3 = 3^3 - 7(3) + 9 = 27 - 21 + 9 = 15 = 3 \times 5$

(4) $a_1 = 3$, $a_2 = 3$, $a_3 = 15$ であることから、$a_n$ は3の倍数であることが推測される。

$a_n$ が3の倍数であることを数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = 3$ であり、3の倍数である。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = k^3 - 7k + 9$ が3の倍数であると仮定する。すなわち、$a_k = 3m$ (mは整数)と表せる。

$n=k+1$ のとき、$a_{k+1} = (k+1)^3 - 7(k+1) + 9 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - 7k - 7 + 9 = (k^3 - 7k + 9) + (3k^2 + 3k - 7 + 1) = a_k + 3k^2 - 4k + 3k + 1-7+1 = a_k + 3k^2-4k+3 = 3m + 3k^2+3k-6k-4k+4 = a_k + 3k^2 - 4k + 3$

$a_{k+1} = (k+1)^3 - 7(k+1) + 9 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - 7k - 7 + 9 = k^3 - 7k + 9 + 3k^2 + 3k + 1 - 7= k^3 - 7k + 9 + 3(k^2-1)+6-6+3k - 4= a_k +3k^2 - 4k+3$

$a_{k+1} - a_k = (k+1)^3 - 7(k+1)+9 - (k^3 - 7k + 9) = (k^3+3k^2+3k+1) - 7k - 7 + 9 - k^3 + 7k - 9 = 3k^2 + 3k - 6 = 3(k^2+k-2) = 3(k+2)(k-1)$

よって、$a_{k+1} = a_k + 3(k+2)(k-1)$.

$a_k$ は3の倍数であると仮定したので、$a_{k+1}$ も3の倍数である。

したがって、数学的帰納法により、$a_n$ は3の倍数である。

(5) $a_n = n^3 - 7n + 9$ が素数となるような整数 $n$ をすべて求める。

$a_n = n^3 - 7n + 9 = 3m$ ($m$は整数) と表せる。

$a_n$ が素数であるためには、$a_n = 3$ でなければならない。

$n^3 - 7n + 9 = 3$

$n^3 - 7n + 6 = 0$

$(n-1)(n^2+n-6) = 0$

$(n-1)(n+3)(n-2) = 0$

よって、$n=1, 2, -3$

$n=1$ のとき、$a_1 = 3$ であり、素数である。

$n=2$ のとき、$a_2 = 3$ であり、素数である。

$n=-3$ のとき、$a_{-3} = (-3)^3 - 7(-3) + 9 = -27 + 21 + 9 = 3$ であり、素数である。

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 3$

(2) $a_2 = 3$

(3) $a_3 = 15$

(4) 推測される整数は 3。数学的帰納法による証明は上記参照。

(5) $a_n$ が素数となるような整数 $n$ は、$n=1, 2, -3$