与えられた複数の数式を因数分解する問題です。具体的には、一次式、二次式、およびそれらの組み合わせの因数分解を行います。

はい、承知しました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた複数の数式を因数分解する問題です。具体的には、一次式、二次式、およびそれらの組み合わせの因数分解を行います。

2. 解き方の手順

(1) $xy + x = x(y+1)$

共通因数 $x$ でくくります。

(2) $2a^2 - 10ab = 2a(a - 5b)$

共通因数 $2a$ でくくります。

(3) $\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{5}x = \frac{3}{5}x(\frac{5}{2}x + 3)$

共通因数 $\frac{3}{5}x$ でくくります。

または$\frac{3}{10}x(5x+6)$

(4) $2x^2 + 8x + 8 = 2(x^2 + 4x + 4) = 2(x+2)^2$

共通因数 $2$ でくくり、その後、完全平方の形に変形します。

(5) $9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2$

完全平方の形に変形します。 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を利用します。

(6) $a^2 + 8a + 7 = (a + 1)(a + 7)$

和が $8$, 積が $7$ となる $2$ つの数 $1$ と $7$ を見つけます。

(7) $16x^2 + 40x + 25 = (4x + 5)^2$

完全平方の形に変形します。 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の公式を利用します。

(8) $x^2 - 26x + 169 = (x - 13)^2$

完全平方の形に変形します。 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を利用します。

(9) $x^2 + 2x - 15 = (x - 3)(x + 5)$

和が $2$, 積が $-15$ となる $2$ つの数 $-3$ と $5$ を見つけます。

(10) $x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8)$

二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ を利用します。

(11) $a^2b^2 - 4 = (ab)^2 - 2^2 = (ab - 2)(ab + 2)$

二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ を利用します。

(12) $121x^2 - 225y^2 = (11x)^2 - (15y)^2 = (11x - 15y)(11x + 15y)$

二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ を利用します。

(13) $x^2 + 12xy - 108y^2 = (x - 6y)(x + 18y)$

和が $12$, 積が $-108$ となる $2$ つの数 $-6$ と $18$ を見つけます。

(14) $(x+y)a^2 - x - y = (x+y)a^2 - (x + y) = (x+y)(a^2 - 1) = (x+y)(a-1)(a+1)$

共通因数 $(x+y)$ でくくり、その後、二乗の差の公式を適用します。

(15) $x^2 + (2a+5b)x + 10ab = (x + 2a)(x + 5b)$

和が $(2a+5b)$, 積が $10ab$ となる $2$ つの数 $2a$ と $5b$ を見つけます。

(16) $x^2(a+b) + x(a+b) = x(a+b)(x+1)$

共通因数 $x(a+b)$ でくくります。

(17) $x(a-b) + y(b-a) = x(a-b) - y(a-b) = (x-y)(a-b)$

共通因数 $(a-b)$ でくくります。

(18) $3x^2 - \frac{49}{3}y^2 = 3(x^2 - \frac{49}{9}y^2) = 3(x - \frac{7}{3}y)(x + \frac{7}{3}y)$

または$(\sqrt{3}x - \frac{7}{\sqrt{3}}y)(\sqrt{3}x+\frac{7}{\sqrt{3}}y)$

共通因数 $3$ でくくり、その後、二乗の差の公式を適用します。

2. 次の各式を因数分解せよ。

(1) $3x^2 + 4x + 1 = (3x+1)(x+1)$

(2) $4x^2 - 23xy - 6y^2 = (4x+y)(x-6y)$

(3) $6x^2 - 3x - 45 = 3(2x^2 - x - 15) = 3(2x+5)(x-3)$

3. 最終的な答え

以下にそれぞれの問題の答えをまとめます。

1. (1) $x(y+1)$

(2) $2a(a - 5b)$

(3) $\frac{3}{10}x(5x+6)$

(4) $2(x+2)^2$

(5) $(3x - 1)^2$

(6) $(a + 1)(a + 7)$

(7) $(4x + 5)^2$

(8) $(x - 13)^2$

(9) $(x - 3)(x + 5)$

(10) $(x - 8)(x + 8)$

(11) $(ab - 2)(ab + 2)$

(12) $(11x - 15y)(11x + 15y)$

(13) $(x - 6y)(x + 18y)$

(14) $(x+y)(a-1)(a+1)$

(15) $(x + 2a)(x + 5b)$

(16) $x(a+b)(x+1)$

(17) $(x-y)(a-b)$

(18) $3(x - \frac{7}{3}y)(x + \frac{7}{3}y)$

2. (1) $(3x+1)(x+1)$

(2) $(4x+y)(x-6y)$

(3) $3(2x+5)(x-3)$