与えられた行列$A$に対して、以下の問いに答えます。 (1) 行列$A$の階数 rank $A$ を求めよ。 (2) 行列$A$は正則行列であるかどうかを理由とともに答えよ。また、正則行列であればその逆行列を求めよ。 与えられた行列$A$は次の通りです。 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 4 & -2 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列$A$に対して、以下の問いに答えます。

(1) 行列$A$の階数 rank $A$ を求めよ。

(2) 行列$A$は正則行列であるかどうかを理由とともに答えよ。また、正則行列であればその逆行列を求めよ。

与えられた行列$A$は次の通りです。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 4 & -2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 階数 rank $A$ を求めるには、行列$A$を簡約化します。

まず、3行目に1行目を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 6 & 1 \end{bmatrix}$

次に、3行目から2行目の6倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}$

この行列は階段行列であり、ゼロでない行が3つあるため、rank $A = 3$です。

(2) 行列$A$が正則行列であるかどうかを判定するには、行列式を計算します。

$\det(A) = 1 \cdot (1 \cdot (-2) - (-1) \cdot 4) - 2 \cdot (0 \cdot (-2) - (-1) \cdot (-1)) + 3 \cdot (0 \cdot 4 - 1 \cdot (-1))$

$= 1 \cdot (-2 + 4) - 2 \cdot (-1) + 3 \cdot (1)$

$= 2 + 2 + 3 = 7$

行列式$\det(A) = 7 \neq 0$なので、行列$A$は正則行列です。

逆行列を求めるには、拡大行列$[A|I]$を作り、簡約化します。

$[A|I] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 4 & -2 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3行目に1行目を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & | & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の6倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & | & 1 & -6 & 1 \end{bmatrix}$

3行目を7で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1/7 & -6/7 & 1/7 \end{bmatrix}$

2行目に3行目を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1/7 & 1/7 & 1/7 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1/7 & -6/7 & 1/7 \end{bmatrix}$

1行目から3行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 4/7 & 18/7 & -3/7 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1/7 & 1/7 & 1/7 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1/7 & -6/7 & 1/7 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2/7 & 16/7 & -5/7 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1/7 & 1/7 & 1/7 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1/7 & -6/7 & 1/7 \end{bmatrix}$

したがって、逆行列は次のようになります。

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 2/7 & 16/7 & -5/7 \\ 1/7 & 1/7 & 1/7 \\ 1/7 & -6/7 & 1/7 \end{bmatrix} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 2 & 16 & -5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -6 & 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) rank $A = 3$

(2) 行列$A$は正則行列であり、逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 2 & 16 & -5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -6 & 1 \end{bmatrix}$