$n$ が3の倍数でないとき、$n^2$ が3の倍数でないことを証明する問題です。$n$ は3の倍数でないので、$n = 3k+1$ または $n = 3k+2$ と表せます。それぞれの場合について、$n^2$ を計算し、3の倍数ではないことを示します。空欄ア、イ、ウを埋めます。

1. 問題の内容

$n$ が3の倍数でないとき、$n^2$ が3の倍数でないことを証明する問題です。$n$ は3の倍数でないので、$n = 3k+1$ または $n = 3k+2$ と表せます。それぞれの場合について、$n^2$ を計算し、3の倍数ではないことを示します。空欄ア、イ、ウを埋めます。

2. 解き方の手順

まず、$n = 3k+1$ のときを考えます。

$n^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$

次に、$n = 3k+2$ のときを考えます。

$n^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$

アに入るのは $3k+1$ です。

$n = 3k+1$ のとき、$n^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ より、イに入るのは3、ウに入るのは1です。

$n = 3k+2$ のとき、$n^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ です。

3. 最終的な答え

ア: $3k+1$

イ: $3$

ウ: $1$