整数 $n$ について、「$n^2$ が 7 の倍数でないならば、$n$ は 7 の倍数ではない」ことを証明するために、空欄を埋める問題です。ただし、対偶を証明することによって、元の命題を証明します。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、「$n^2$ が 7 の倍数でないならば、$n$ は 7 の倍数ではない」ことを証明するために、空欄を埋める問題です。ただし、対偶を証明することによって、元の命題を証明します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題の対偶を考えます。与えられた命題は「$n^2$ が 7 の倍数でないならば、$n$ は 7 の倍数ではない」です。この対偶は、「$n$ が 7 の倍数ならば、$n^2$ は 7 の倍数である」となります。これが命題のアに当てはまります。

次に、$n$ が 7 の倍数であることから、$n = 7k$（$k$ は整数）と表すことができます。これがイに当てはまります。

すると、$n^2 = (7k)^2 = 49k^2 = 7(7k^2)$ となります。よって、ウには、$7k^2$ が入ります。

したがって、$n^2$ は 7 の倍数であり、命題のア「$n$ が 7 の倍数ならば、$n^2$ は 7 の倍数である」が真であることが証明されました。対偶が真であることから、元の命題も真であることが示されました。

3. 最終的な答え

ア: $n$ が 7 の倍数ならば、$n^2$ は 7 の倍数である

イ: $7k$

ウ: $7k^2$