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実数 $m$ と $n$ について、$mn$ が無理数であるならば、$m$ と $n$ の少なくとも一方は無理数であることを証明する問題です。与えられた証明の穴埋めをします。

数論無理数有理数対偶証明
2025/5/22

1. 問題の内容

実数 mm と nn について、mnmn が無理数であるならば、mm と nn の少なくとも一方は無理数であることを証明する問題です。与えられた証明の穴埋めをします。

2. 解き方の手順

与えられた命題「mnmn が無理数であるならば、mm と nn の少なくとも一方は無理数である」を証明するために、対偶を証明します。
命題「PP ならば QQ」の対偶は「QQ でないならば PP でない」です。
元の命題の PP は「mnmn が無理数」、 QQ は「mm と nn の少なくとも一方は無理数」です。
したがって、PP でないは「mnmn は有理数」、 QQ でないは「mm と nn はともに有理数」となります。
QQ でないは「mm と nn はともに有理数」なので、「mm と nn がともに有理数でない」ではありません。
従って、対偶の命題は「mm と nn がともに有理数ならば、mnmn は有理数である」となります。
mm と nn がともに有理数のとき、有理数どうしの積は有理数なので、mnmn は有理数です。
したがって、mm と nn がともに有理数ならば、mnmn は有理数であるから、与えられた命題も真であると言えます。
上記の議論から空欄を埋めます。
ア：対偶
イ：ともに
ウ：有理数

3. 最終的な答え

ア：対偶
イ：ともに
ウ：有理数

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