実数 $m$ と $n$ について、$mn$ が無理数であるならば、$m$ と $n$ の少なくとも一方は無理数であることを証明する問題です。与えられた証明の穴埋めをします。

1. 問題の内容

実数 $m$ と $n$ について、$mn$ が無理数であるならば、$m$ と $n$ の少なくとも一方は無理数であることを証明する問題です。与えられた証明の穴埋めをします。

2. 解き方の手順

与えられた命題「$mn$ が無理数であるならば、$m$ と $n$ の少なくとも一方は無理数である」を証明するために、対偶を証明します。

命題「$P$ ならば $Q$」の対偶は「$Q$ でないならば $P$ でない」です。

元の命題の $P$ は「$mn$ が無理数」、 $Q$ は「$m$ と $n$ の少なくとも一方は無理数」です。

したがって、$P$ でないは「$mn$ は有理数」、 $Q$ でないは「$m$ と $n$ はともに有理数」となります。

$Q$ でないは「$m$ と $n$ はともに有理数」なので、「$m$ と $n$ がともに有理数でない」ではありません。

従って、対偶の命題は「$m$ と $n$ がともに有理数ならば、$mn$ は有理数である」となります。

$m$ と $n$ がともに有理数のとき、有理数どうしの積は有理数なので、$mn$ は有理数です。

したがって、$m$ と $n$ がともに有理数ならば、$mn$ は有理数であるから、与えられた命題も真であると言えます。

上記の議論から空欄を埋めます。

ア：対偶

イ：ともに

ウ：有理数

3. 最終的な答え

ア：対偶

イ：ともに

ウ：有理数