x, yを実数、aを0でない実数の定数とする。 (1) 2次関数 $f(x) = ax^2 + 2(1-a)xy + 4ay^2$ のグラフの頂点の座標を、y, aを用いて表せ。 (2) すべてのx, yに対して不等式 $ax^2 + 2(1-a)xy + 4ay^2 \geq 0$ が成り立つとき、aの値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

x, yを実数、aを0でない実数の定数とする。

(1) 2次関数 $f(x) = ax^2 + 2(1-a)xy + 4ay^2$ のグラフの頂点の座標を、y, aを用いて表せ。

(2) すべてのx, yに対して不等式 $ax^2 + 2(1-a)xy + 4ay^2 \geq 0$ が成り立つとき、aの値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ をxについて平方完成する。

$f(x) = a(x^2 + \frac{2(1-a)}{a}xy) + 4ay^2$

$f(x) = a(x + \frac{1-a}{a}y)^2 - a(\frac{1-a}{a}y)^2 + 4ay^2$

$f(x) = a(x + \frac{1-a}{a}y)^2 - \frac{(1-a)^2}{a}y^2 + 4ay^2$

$f(x) = a(x + \frac{1-a}{a}y)^2 + \frac{4a^2-(1-a)^2}{a}y^2$

$f(x) = a(x + \frac{1-a}{a}y)^2 + \frac{4a^2-(1-2a+a^2)}{a}y^2$

$f(x) = a(x + \frac{1-a}{a}y)^2 + \frac{3a^2+2a-1}{a}y^2$

$f(x) = a(x + \frac{1-a}{a}y)^2 + \frac{(3a-1)(a+1)}{a}y^2$

よって、頂点の座標は $(-\frac{1-a}{a}y, \frac{(3a-1)(a+1)}{a}y^2)$。

(2) すべてのx, yに対して $ax^2 + 2(1-a)xy + 4ay^2 \geq 0$ が成り立つためには、

(i) a > 0 かつ (ii) 判別式 D ≦ 0 が必要十分条件となる。

$ax^2 + 2(1-a)xy + 4ay^2 \geq 0$ をxについての2次式とみなすと、

判別式 $D = (2(1-a)y)^2 - 4(a)(4ay^2) = 4(1-a)^2y^2 - 16a^2y^2 = 4((1-a)^2 - 4a^2)y^2 = 4(1-2a+a^2-4a^2)y^2 = 4(1-2a-3a^2)y^2 = -4(3a^2+2a-1)y^2 = -4(3a-1)(a+1)y^2$

したがって、$D \leq 0 \Leftrightarrow -4(3a-1)(a+1)y^2 \leq 0 \Leftrightarrow (3a-1)(a+1) \geq 0$

$a \leq -1$ または $a \geq \frac{1}{3}$

(i) a > 0 と (ii) $a \leq -1$ または $a \geq \frac{1}{3}$ より、$a \geq \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(-\frac{1-a}{a}y, \frac{(3a-1)(a+1)}{a}y^2)$

(2) aの値の範囲: $a \geq \frac{1}{3}$