$-1 \le x \le 1$ のとき、関数 $f(x) = x^2 - 2px + p$ ($p > 0$) の最小値を $q$ とする。 (1) $q$ を $p$ の式で表せ。 (2) $q$ を最大にする $p$ の値、および $q$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$-1 \le x \le 1$ のとき、関数 $f(x) = x^2 - 2px + p$ ($p > 0$) の最小値を $q$ とする。

(1) $q$ を $p$ の式で表せ。

(2) $q$ を最大にする $p$ の値、および $q$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2px + p = (x - p)^2 - p^2 + p$

軸は $x = p$ である。

ここで、軸 $x=p$ の位置によって場合分けを行う。

(i) $p < -1$ のとき

$-1 \le x \le 1$ で $f(x)$ は単調減少なので、最小値は $f(1)$ でとる。

$q = f(1) = 1^2 - 2p(1) + p = 1 - 2p + p = 1 - p$

(ii) $-1 \le p \le 1$ のとき

$-1 \le x \le 1$ の範囲に軸 $x=p$ が含まれるので、最小値は $f(p)$ でとる。

$q = f(p) = p^2 - 2p^2 + p = -p^2 + p$

(iii) $p > 1$ のとき

$-1 \le x \le 1$ で $f(x)$ は単調増加なので、最小値は $f(-1)$ でとる。

$q = f(-1) = (-1)^2 - 2p(-1) + p = 1 + 2p + p = 1 + 3p$

以上より、

$q = \begin{cases} 1 - p & (p < -1) \\ -p^2 + p & (-1 \le p \le 1) \\ 1 + 3p & (p > 1) \end{cases}$

ただし、$p > 0$ であるから、

$q = \begin{cases} -p^2 + p & (0 < p \le 1) \\ 1 + 3p & (p > 1) \end{cases}$

(2)

$q = -p^2 + p$ について

$q = -(p^2 - p) = -(p^2 - p + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} = -(p - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$

これは、 $p = \frac{1}{2}$ で最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。

$q = 1 + 3p$ は $p$ が大きくなるほど $q$ も大きくなるので、$p > 1$ において $q$ の最大値は存在しない。

よって、$0 < p \le 1$ の範囲で $q$ が最大になるのは $p = \frac{1}{2}$ のときで、その最大値は $q = \frac{1}{4}$ である。

3. 最終的な答え

(1)

$q = \begin{cases} -p^2 + p & (0 < p \le 1) \\ 1 + 3p & (p > 1) \end{cases}$

(2)

$p = \frac{1}{2}$ のとき、 $q$ は最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。