(1) 正の整数 $x$ が3の倍数ではないとき、$x^2$ を3で割った余りが1であることを示す。 (2) $x, y, z$ は $x^2 + y^2 = z^2$ を満たす正の整数とする。このとき、$x, y$ の少なくとも一方は3の倍数であることを、背理法を用いて示す。

1. 問題の内容

(1) 正の整数 $x$ が3の倍数ではないとき、$x^2$ を3で割った余りが1であることを示す。

(2) $x, y, z$ は $x^2 + y^2 = z^2$ を満たす正の整数とする。このとき、$x, y$ の少なくとも一方は3の倍数であることを、背理法を用いて示す。

2. 解き方の手順

(1)

正の整数 $x$ が3の倍数でないとき、$x$ は $3k+1$ または $3k+2$ (ただし $k$ は整数)と表せる。

- $x = 3k+1$ のとき、

$x^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$

$x^2$ を3で割った余りは1である。

- $x = 3k+2$ のとき、

$x^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$

$x^2$ を3で割った余りは1である。

したがって、正の整数 $x$ が3の倍数ではないとき、$x^2$ を3で割った余りは1である。

(2)

背理法を用いる。$x, y$ がどちらも3の倍数でないと仮定する。

すると、$x^2$ も $y^2$ も3で割った余りは1である。( (1)より )

したがって、$x^2 + y^2$ を3で割った余りは $1+1=2$ である。

すなわち、$z^2 = x^2 + y^2$ を3で割った余りは2である。

しかし、(1)より、$z$ が3の倍数でないとき、$z^2$ を3で割った余りは1である。

また、$z$ が3の倍数のとき、$z^2$ も3の倍数なので、$z^2$ を3で割った余りは0である。

したがって、$z^2$ を3で割った余りは0か1のどちらかであり、2になることはない。

これは矛盾である。

よって、$x, y$ の少なくとも一方は3の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) 正の整数 $x$ が3の倍数ではないとき、$x^2$ を3で割った余りは1である。

(2) $x, y$ の少なくとも一方は3の倍数である。