放物線 $y = 3x^2 + 2ax + a$ を x 軸方向に $a$, y 軸方向に $b$ だけ平行移動したところ、この放物線は点 $(-2, 0)$ で x 軸と接した。このとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 3x^2 + 2ax + a$ を x 軸方向に $a$, y 軸方向に $b$ だけ平行移動したところ、この放物線は点 $(-2, 0)$ で x 軸と接した。このとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線を平行移動した後の式を求める。平行移動後の放物線の方程式は、

$y - b = 3(x - a)^2 + 2a(x - a) + a$

整理すると、

$y = 3(x^2 - 2ax + a^2) + 2ax - 2a^2 + a + b$

$y = 3x^2 - 6ax + 3a^2 + 2ax - 2a^2 + a + b$

$y = 3x^2 - 4ax + a^2 + a + b$

この放物線が点 $(-2, 0)$ で x 軸に接するということは、以下の2つの条件を満たす。

(1) $x = -2$ を代入すると $y = 0$ となる。

(2) 放物線が $x$ 軸に接するので、$3x^2 - 4ax + a^2 + a + b = 0$ は重解を持つ。

(1) より、

$0 = 3(-2)^2 - 4a(-2) + a^2 + a + b$

$0 = 12 + 8a + a^2 + a + b$

$a^2 + 9a + 12 + b = 0$

$b = -a^2 - 9a - 12$

(2) より、$3x^2 - 4ax + a^2 + a + b = 0$ の判別式 $D$ が $D = 0$ となる。

$D = (-4a)^2 - 4(3)(a^2 + a + b) = 0$

$16a^2 - 12(a^2 + a + b) = 0$

$4a^2 - 3(a^2 + a + b) = 0$

$4a^2 - 3a^2 - 3a - 3b = 0$

$a^2 - 3a - 3b = 0$

$b = -a^2 - 9a - 12$ を代入する。

$a^2 - 3a - 3(-a^2 - 9a - 12) = 0$

$a^2 - 3a + 3a^2 + 27a + 36 = 0$

$4a^2 + 24a + 36 = 0$

$a^2 + 6a + 9 = 0$

$(a + 3)^2 = 0$

$a = -3$

$b = -a^2 - 9a - 12$ に $a = -3$ を代入する。

$b = -(-3)^2 - 9(-3) - 12 = -9 + 27 - 12 = 6$

3. 最終的な答え

$a = -3, b = 6$