底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心Oを通り、底面とのなす角が45°の平面でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心Oを通り、底面とのなす角が45°の平面でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

求める立体の体積は、半径1の半円を底面とする柱体の体積から、底面が扇形となる立体の体積を引いたものとして求める。

まず、直円柱の体積は、底面積$\pi r^2$（$r=1$）と高さ$h$（$h=1$）の積で求められるので、$\pi \times 1^2 \times 1 = \pi$ である。

この直円柱を底面とのなす角が45°の平面で切断した場合、小さい方の立体は、底面が半径1の半円となる柱体とみなせる。

切断面は底面とのなす角が45°であるから、半円の直径を底辺とする直角三角形において、高さは底辺と等しく、2である。

よって、この柱体の体積は、底面積（半径1の半円）と高さ2の積の半分である。

底面積は $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}$ となる。

したがって、柱体の体積は $\frac{\pi}{2} \times 2 = \pi$ の半分であるから、$\frac{\pi}{2}$ となる。

求める体積は、積分を使って計算できる。

座標軸を底面の中心に置き、x軸を平面の切り口と垂直になるように設定する。この時、切り口の平面の方程式は$z = x + 1$となる。

求める体積は次の積分で計算できる。

$$V = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} (x+1) \,dy\,dx$$

$$= \int_{-1}^{1} (x+1) \left[ y \right]_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \,dx$$

$$= \int_{-1}^{1} (x+1) (2\sqrt{1-x^2}) \,dx$$

$$= 2 \int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x^2} \,dx + 2 \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} \,dx$$

$x\sqrt{1-x^2}$ は奇関数であるから、$\int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x^2} \,dx = 0$ となる。

$\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} \,dx$ は半径1の半円の面積であるから、$\frac{\pi}{2}$ となる。

したがって、

$$V = 2 \cdot 0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$$

3. 最終的な答え

$\pi$