底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心を通る平面で、底面とのなす角が45°でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心を通る平面で、底面とのなす角が45°でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

小さい方の立体の体積を求める問題を考えます。

まず、円柱の底面をxy平面にとり、中心を原点Oとします。平面はz軸に平行な直線と交わると考えます。

与えられた平面の方程式は、$z = x + 1$と表せます。なぜなら、底面となす角が45度なので、傾きが1であり、z座標の最大値はx=1のときz=2であり、最小値はx=-1のときz=0であるからです。

求める体積は、二重積分で計算できます。

$V = \iint_D (x+1) \, dx \, dy$

ここで、$D$は円柱の底面、$x^2 + y^2 \le 1$です。

極座標に変換します。$x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$

$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$

積分範囲は、$0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le 2\pi$

$V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r \cos \theta + 1)r \, dr \, d\theta$

$V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^2 \cos \theta + r) \, dr \, d\theta$

$V = \int_0^{2\pi} [\frac{1}{3}r^3 \cos \theta + \frac{1}{2}r^2]_0^1 \, d\theta$

$V = \int_0^{2\pi} (\frac{1}{3}\cos \theta + \frac{1}{2}) \, d\theta$

$V = [\frac{1}{3}\sin \theta + \frac{1}{2}\theta]_0^{2\pi}$

$V = (\frac{1}{3}\sin(2\pi) + \frac{1}{2}(2\pi)) - (\frac{1}{3}\sin(0) + \frac{1}{2}(0))$

$V = (0 + \pi) - (0 + 0)$

$V = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$