底面の半径が1、高さが1の直円柱を、底面の中心Oを通り、底面とのなす角が45°の平面で切断したとき、小さい方の立体の体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が1、高さが1の直円柱を、底面の中心Oを通り、底面とのなす角が45°の平面で切断したとき、小さい方の立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、円柱の底面をxy平面上に置き、円の中心を原点とします。切断する平面をz軸方向に傾いた平面と考えます。

平面は原点を通るので、$z = ax + by$ と表せます。

底面とのなす角が45°なので、傾きは1です。ここでは平面を$z=x$とします。

求める体積Vは、積分を使って計算できます。

円柱の底面をDとすると、Dは$x^2 + y^2 \le 1$で表されます。

$V = \iint_D z \, dxdy = \iint_D x \, dxdy$ を計算します。

ここで、積分範囲を半円に区切って考えます。

Dを、$x>0$の領域$D_1$と、$x<0$の領域$D_2$に分けます。

$V = \iint_{D_1} x \, dxdy + \iint_{D_2} x \, dxdy$

$x<0$の領域では、$x$は負の値をとるので、$\iint_{D_2} x \, dxdy$ は負の値になります。

したがって、$V = \iint_{D_1} x \, dxdy + \iint_{D_2} x \, dxdy = 0$ となるわけではありません。

積分を計算するために、極座標変換を行います。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$とすると、$dxdy = rdrd\theta$となります。

Dは、$0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le 2\pi$ と表されます。

$V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r\cos\theta) r \, dr d\theta = \int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta \int_0^1 r^2 dr$

$\int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta = [\sin\theta]_0^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(0) = 0$

$\int_0^1 r^2 dr = [\frac{1}{3}r^3]_0^1 = \frac{1}{3}$

なので、$\int_0^{2\pi} \int_0^1 (r\cos\theta) r \, dr d\theta = 0 \times \frac{1}{3} = 0$ となってしまいます。

これは積分範囲の設定が間違っていたからです。

$z=x$で切断される円柱の小さい方の体積を求めるには、$x$が負の領域では体積は0なので、$x$が正の領域($0 \le x \le 1$)を考え、$z=x$までの積分を計算します。

$V = \iint_D x \, dxdy$

ここで$x>0$となる半円の領域Dを考えると、

$- \pi / 2 \le \theta \le \pi / 2$

$V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^1 (r\cos\theta) r \, dr d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta d\theta \int_0^1 r^2 dr$

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta d\theta = [\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(-\pi/2) = 1 - (-1) = 2$

$\int_0^1 r^2 dr = [\frac{1}{3}r^3]_0^1 = \frac{1}{3}$

よって、$V = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$