底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心を通る、底面となす角が45°の平面でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心を通る、底面となす角が45°の平面でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

小さい方の立体の体積を求める。

まず、円柱の底面をxy平面に置き、中心を原点Oとする。

平面z = x で円柱を切断すると、問題の条件を満たす。

求める体積Vは、二重積分で計算できる。

$V = \iint_D x \,dxdy$

ここで、Dは円柱の底面を表す領域、$x^2 + y^2 \le 1$である。

Dを極座標に変換する。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

$dxdy = rdrd\theta$

$0 \le r \le 1$

$0 \le \theta \le 2\pi$

よって、

$V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r\cos\theta \cdot r dr d\theta$

$V = \int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta \int_0^1 r^2 dr$

$\int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta = [\sin\theta]_0^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0$

円柱を平面で切った場合の小さい方の体積の公式を使う。

円柱の半径をr、高さをh、平面と底面のなす角を$\theta$とすると、小さい方の立体の体積Vは

$V = r^2 h/3$で表される。

問題文より、半径r = 1,高さh = 1,$\theta = 45^{\circ}$である。

平面と底面のなす角が45度なので、高さは底面の直径に等しい。すなわち、切断面の最高点はx=2にあたる。

したがって積分範囲を変える必要がある。

$z=x$で切断された円柱のうち、小さいほうの体積は、積分範囲を$-\pi/2 \le \theta \le \pi/2$とすると、

$V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^1 r\cos\theta \cdot r dr d\theta$

$V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta d\theta \int_0^1 r^2 dr$

$V = [\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} \cdot [r^3/3]_0^1$

$V = (\sin(\pi/2) - \sin(-\pi/2)) \cdot (1/3 - 0)$

$V = (1 - (-1)) \cdot (1/3)$

$V = 2 \cdot (1/3)$

$V = 2/3$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$