9本の異なる色鉛筆を、以下の方法で分ける場合の数を求めます。 (1) 4本、3本、2本の3組に分ける。 (2) 3本ずつ3人の生徒に分ける。 (3) 3本ずつ3組に分ける。 (4) 5本、2本、2本の3組に分ける。

1. 問題の内容

9本の異なる色鉛筆を、以下の方法で分ける場合の数を求めます。

(1) 4本、3本、2本の3組に分ける。

(2) 3本ずつ3人の生徒に分ける。

(3) 3本ずつ3組に分ける。

(4) 5本、2本、2本の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 4本、3本、2本の3組に分ける場合

まず、9本から4本を選ぶ場合の数は ${9 \choose 4}$通り。

次に、残りの5本から3本を選ぶ場合の数は ${5 \choose 3}$通り。

最後に、残りの2本から2本を選ぶ場合の数は ${2 \choose 2}$通り。

したがって、分け方の総数は

${9 \choose 4} \times {5 \choose 3} \times {2 \choose 2} = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{4!3!2!} = 1260$通り。

(2) 3本ずつ3人の生徒に分ける場合

まず、9本から3本を選び、1人目の生徒に渡す場合の数は ${9 \choose 3}$通り。

次に、残りの6本から3本を選び、2人目の生徒に渡す場合の数は ${6 \choose 3}$通り。

最後に、残りの3本から3本を選び、3人目の生徒に渡す場合の数は ${3 \choose 3}$通り。

したがって、分け方の総数は

${9 \choose 3} \times {6 \choose 3} \times {3 \choose 3} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!} = 1680$通り。

(3) 3本ずつ3組に分ける場合

3本の組を3つ作る分け方は、(2)と同様に $\frac{9!}{3!3!3!}$通りですが、3つの組には区別がないため、3!で割る必要があります。

したがって、分け方の総数は

$\frac{9!}{3!3!3!} \div 3! = \frac{9!}{3!3!3! \times 3!} = \frac{1680}{6} = 280$通り。

(4) 5本、2本、2本の3組に分ける場合

まず、9本から5本を選ぶ場合の数は ${9 \choose 5}$通り。

次に、残りの4本から2本を選ぶ場合の数は ${4 \choose 2}$通り。

最後に、残りの2本から2本を選ぶ場合の数は ${2 \choose 2}$通り。

2本の組は区別がないため、2!で割る必要があります。

したがって、分け方の総数は

${9 \choose 5} \times {4 \choose 2} \times {2 \choose 2} \div 2! = \frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} \div 2! = \frac{9!}{5!2!2! \times 2!} = \frac{126 \times 6}{2} = 378$通り。

3. 最終的な答え

(1) 1260通り

(2) 1680通り

(3) 280通り

(4) 378通り