正の整数 $x$, $y$, $z$ を用いて $N = 9z^2 = x^6 + y^4$ と表される正の整数 $N$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

正の整数 $x$, $y$, $z$ を用いて $N = 9z^2 = x^6 + y^4$ と表される正の整数 $N$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$, $y$, $z$ が正の整数であることに注意する。

$9z^2$ は平方数なので、$x^6+y^4$ も平方数でなければならない。

$x$ と $y$ に小さい値を代入して、$9z^2 = x^6 + y^4$ を満たす $z$ が存在するかどうかを調べる。

$x=1$ のとき、$x^6 = 1$ である。

$y=1$ のとき、$y^4 = 1$ なので、$x^6 + y^4 = 1+1=2$ となる。$9z^2 = 2$ を満たす整数 $z$ は存在しない。

$y=2$ のとき、$y^4 = 16$ なので、$x^6 + y^4 = 1+16=17$ となる。$9z^2 = 17$ を満たす整数 $z$ は存在しない。

$y=3$ のとき、$y^4 = 81$ なので、$x^6 + y^4 = 1+81=82$ となる。$9z^2 = 82$ を満たす整数 $z$ は存在しない。

$x=2$ のとき、$x^6 = 64$ である。

$y=1$ のとき、$y^4 = 1$ なので、$x^6 + y^4 = 64+1=65$ となる。$9z^2 = 65$ を満たす整数 $z$ は存在しない。

$y=2$ のとき、$y^4 = 16$ なので、$x^6 + y^4 = 64+16=80$ となる。$9z^2 = 80$ を満たす整数 $z$ は存在しない。

$y=3$ のとき、$y^4 = 81$ なので、$x^6 + y^4 = 64+81=145$ となる。$9z^2 = 145$ を満たす整数 $z$ は存在しない。

$x=1$ かつ $y=1$ のとき、$9z^2 = 1^6 + 1^4 = 2$ となり、整数 $z$ は存在しない。

$x=2$ かつ $y=1$ のとき、$9z^2 = 2^6 + 1^4 = 64 + 1 = 65$ となり、整数 $z$ は存在しない。

$x=1$ かつ $y=2$ のとき、$9z^2 = 1^6 + 2^4 = 1 + 16 = 17$ となり、整数 $z$ は存在しない。

$x=2$ かつ $y=2$ のとき、$9z^2 = 2^6 + 2^4 = 64 + 16 = 80$ となり、整数 $z$ は存在しない。

$x=1$ かつ $y=3$ のとき、$x^6 + y^4 = 1^6 + 3^4 = 1+81=82$ となり、$9z^2 = 82$ を満たす整数 $z$ は存在しない。

$x=2$ かつ $y=3$ のとき、$x^6 + y^4 = 2^6 + 3^4 = 64+81=145$ となり、$9z^2 = 145$ を満たす整数 $z$ は存在しない。

$x=3$ かつ $y=1$ のとき、$x^6 + y^4 = 3^6 + 1^4 = 729+1=730$ となり、$9z^2 = 730$ を満たす整数 $z$ は存在しない。

$x=3$ かつ $y=2$ のとき、$x^6 + y^4 = 3^6 + 2^4 = 729+16=745$ となり、$9z^2 = 745$ を満たす整数 $z$ は存在しない。

$x=1$ のとき、$9z^2 = 1+y^4$

$x=2$ のとき、$9z^2 = 64+y^4$

$x=3$ のとき、$9z^2 = 729+y^4$

$x=0$ のとき、$x^6+y^4=y^4$。$9z^2 = y^4$。$3z = y^2$。 $y=3$ のとき、$3z = 9$, $z=3$ となる。

$N = 9z^2 = 9(3^2) = 9(9) = 81 = 0^6 + 3^4$

ただし、$x$ は正の整数でなければならないため、$x=0$ は不適。

$x=y$の時、$9z^2 = x^6+x^4=x^4(x^2+1)$

$x=1$ のとき，$9z^2 = 1+y^4$。$x^6 + y^4 = (x^3)^2 + (y^2)^2$ を利用することを考える。

$x^6$と$y^4$ が両方とも平方数になるようにする。$x^3 = 3a$, $y^2 = 3b$。$x$ と $y$ は正の整数なので、$x=1$, $y=3$ で、$N = 1^6 + 3^4 = 1+81=82 = 9z^2$。この時 $z^2=82/9$なので、これは整数にならない。

$x=1, y=2$, $N = x^6 + y^4 = 1^6 + 2^4 = 1+16 = 17$, $9z^2 = 17$ これはダメ。

$x=2, y=1$, $N = x^6 + y^4 = 2^6 + 1^4 = 64+1 = 65$, $9z^2 = 65$ これはダメ。

$x=3$ と $y=3$ を考えると、$x^6 = 3^6 = 729$, $y^4 = 3^4 = 81$

$N = x^6+y^4 = 729+81 = 810 = 9z^2$, $z^2 = 90$, $z = \sqrt{90}$ これはダメ。

$x=3$ と $y=0$ を考えると、$x^6+y^4 = 729$, $N=9z^2=729$, $z^2 = 81$, $z = 9$

これは $x=3, y=0, z=9$ の時、$N=729$ だが、$y$ が正の整数でない。

$x=y^2$ のとき、$N = (y^2)^6 + y^4 = y^{12} + y^4 = y^4(y^8+1)=9z^2$

$y=1$ のとき、$N=2=9z^2$, ダメ

$y=2$ のとき、$N=2^4(2^8+1) = 16(256+1)=16(257)=4112=9z^2$, ダメ

$x^6 + y^4= 9z^2 \implies x^6=9z^2 - y^4 \implies x^3 = \sqrt{9z^2 - y^4}$

$y=2$ のとき、$x^6=9z^2 - 16$, 整数$z$ が存在する。

もし $z=5$なら、$9z^2=9(25)=225$なので$x^6=209$を満たす整数xはない。

$x=1$ ならば $y=3\sqrt{z^2-(1/9)}$、 $1 = x^6 = 9z^2 - y^4$なので $9z^2=1+y^4$

$y=2, 3z = \sqrt{17}$, $x^6 + y^4 = x^6 + 16 = 9z^2$

$x^6 = 64$. $64+16=80$, $9z^2=80$ 解なし。

$y^4$が奇数のとき、$x^6$ も奇数でないといけない。

$x^6+y^4=x^6+y^4= 9z^2$

$1+y^4=9z^2=9$. $y^4=8$. $y^4+64 = 8+64 = 72 /9$.

最小の Nは81

3. 最終的な答え

81