(1) $\frac{250}{n^2}$, $\frac{256}{n^3}$, $\frac{243}{n^4}$ がすべて整数となるような正の整数 $n$ のうち、最大のものを求める。 (2) 50! が $3^k$ で割り切れるような自然数 $k$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\frac{250}{n^2}$, $\frac{256}{n^3}$, $\frac{243}{n^4}$ がすべて整数となるような正の整数 $n$ のうち、最大のものを求める。

(2) 50! が $3^k$ で割り切れるような自然数 $k$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{250}{n^2}$ が整数となるためには、$n^2$ が $250$ の約数である必要がある。

$250 = 2 \times 5^3$ なので、$n^2$ は $1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250$ のいずれかである必要がある。

$n$ は整数なので、$n^2$ は平方数である必要があり、$n^2 = 1, 25$ が候補となる。

したがって、$n = 1, 5$ が候補となる。

$\frac{256}{n^3}$ が整数となるためには、$n^3$ が $256$ の約数である必要がある。

$256 = 2^8$ なので、$n^3$ は $2^0, 2^1, ..., 2^8$ のいずれかである必要がある。

$n$ は整数なので、$n^3$ は立方数である必要があり、$n^3 = 1, 8, 64$ が候補となる。

したがって、$n = 1, 2, 4$ が候補となる。

$\frac{243}{n^4}$ が整数となるためには、$n^4$ が $243$ の約数である必要がある。

$243 = 3^5$ なので、$n^4$ は $3^0, 3^1, ..., 3^5$ のいずれかである必要がある。

$n$ は整数なので、$n^4$ は4乗数である必要があり、$n^4 = 1, 81$ が候補となる。

したがって、$n = 1, 3$ が候補となる。

上記の３つの条件を全て満たす必要があるため、$n = 1$ のみが条件を満たす。

(2)

50! に含まれる 3 の個数を数える。

50 以下の 3 の倍数の個数は $\lfloor \frac{50}{3} \rfloor = 16$

50 以下の $3^2 = 9$ の倍数の個数は $\lfloor \frac{50}{9} \rfloor = 5$

50 以下の $3^3 = 27$ の倍数の個数は $\lfloor \frac{50}{27} \rfloor = 1$

50 以下の $3^4 = 81$ の倍数の個数は $\lfloor \frac{50}{81} \rfloor = 0$

したがって、50! に含まれる 3 の個数は $16 + 5 + 1 = 22$ 個である。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 22