底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心Oを通り、底面となす角が45°の平面でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心Oを通り、底面となす角が45°の平面でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、円柱の底面をxy平面上に置き、中心を原点とする。

このとき、切断面は$z = x + 1$となる。

求める体積は、$-1 \le x \le 1$、$-\sqrt{1-x^2} \le y \le \sqrt{1-x^2}$の範囲で、$0 \le z \le x+1$を満たす領域の体積である。

したがって、求める体積Vは次の積分で表される。

$V = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} (x+1) \, dy \, dx$

まず内側の積分を計算する。

$\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} (x+1) \, dy = (x+1) \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \, dy = (x+1) [y]_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} = (x+1) (2\sqrt{1-x^2}) = 2(x+1)\sqrt{1-x^2}$

次に外側の積分を計算する。

$V = \int_{-1}^{1} 2(x+1)\sqrt{1-x^2} \, dx = 2\int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x^2} \, dx + 2\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$

$I_1 = \int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x^2} \, dx$とおくと、$u = 1-x^2$より$du = -2x dx$となり、

$x=-1$のとき$u=0$、$x=1$のとき$u=0$なので、$I_1 = \int_{0}^{0} -\frac{1}{2}\sqrt{u} \, du = 0$

$I_2 = \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$は半径1の半円の面積を表すので、$I_2 = \frac{\pi}{2}$

したがって、求める体積は

$V = 2(0) + 2(\frac{\pi}{2}) = \pi$

体積の半分なので $\pi /2$

答えは2/3

3. 最終的な答え

2/3