(1) $\frac{n^2}{250}, \frac{n^3}{256}, \frac{n^4}{243}$ がすべて整数となるような正の整数 $n$ のうち、最小のものを求める。 (2) $50!$ が $3^n$ で割り切れるような自然数 $n$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\frac{n^2}{250}, \frac{n^3}{256}, \frac{n^4}{243}$ がすべて整数となるような正の整数 $n$ のうち、最小のものを求める。

(2) $50!$ が $3^n$ で割り切れるような自然数 $n$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、それぞれの分母を素因数分解する。

$250 = 2 \cdot 5^3$

$256 = 2^8$

$243 = 3^5$

$\frac{n^2}{250}$ が整数となるためには、$n^2$ が $2 \cdot 5^3$ で割り切れる必要がある。

つまり、$n^2$ は $2^1$ と $5^3$ を因数に持つ必要がある。

したがって、$n$ は $2$ と $5$ の素因数分解で、$2^{\lceil \frac{1}{2} \rceil} = 2^1$ と $5^{\lceil \frac{3}{2} \rceil} = 5^2$ を持つ必要がある。

よって、$n$ は $2 \cdot 5^2 = 50$ の倍数である必要がある。

$\frac{n^3}{256}$ が整数となるためには、$n^3$ が $2^8$ で割り切れる必要がある。

つまり、$n^3$ は $2^8$ を因数に持つ必要がある。

したがって、$n$ は $2$ の素因数分解で、$2^{\lceil \frac{8}{3} \rceil} = 2^3$ を持つ必要がある。

$\frac{n^4}{243}$ が整数となるためには、$n^4$ が $3^5$ で割り切れる必要がある。

つまり、$n^4$ は $3^5$ を因数に持つ必要がある。

したがって、$n$ は $3$ の素因数分解で、$3^{\lceil \frac{5}{4} \rceil} = 3^2$ を持つ必要がある。

以上より、$n$ は $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 8 \cdot 9 \cdot 25 = 72 \cdot 25 = 1800$ の倍数である必要がある。

よって、$n$ の最小値は $1800$ である。

(2)

$50!$ が $3^n$ で割り切れるような最大の $n$ を求める。

$50!$ に含まれる素因数3の個数を数える。

$\lfloor \frac{50}{3} \rfloor = 16$

$\lfloor \frac{50}{3^2} \rfloor = \lfloor \frac{50}{9} \rfloor = 5$

$\lfloor \frac{50}{3^3} \rfloor = \lfloor \frac{50}{27} \rfloor = 1$

$\lfloor \frac{50}{3^4} \rfloor = \lfloor \frac{50}{81} \rfloor = 0$

したがって、50! に含まれる素因数3の個数は $16 + 5 + 1 = 22$ である。

よって、$50!$ は $3^{22}$ で割り切れる。

3. 最終的な答え

(1) 1800

(2) 22