底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心を通り、底面となす角が45度の平面でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心を通り、底面となす角が45度の平面でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

* 直円柱を平面で切断したときの小さい方の立体の体積を求める問題を解く。

* 底面の中心を原点とし、平面と円柱の交線を $y$ 軸とするように座標軸を設定する。

* 平面の方程式は $z = x$ となる。

* 小さい方の立体の体積は、積分を用いて計算できる。体積 $V$ は、

$$V = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \max(0, x) dx dy$$

と表せる。ここで積分範囲は底面の円を表す。$x$ が負の領域では $x$ の値は $0$ となるので、積分範囲を$0 < x$ となる範囲に限定できる。

* $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$と変数変換する。

このとき$0 \le r \le 1$ かつ $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$である。

$x > 0$より$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$である。

$$\int_{-1}^1\int_0^{\sqrt{1-y^2}}xdxdy = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^1 r\cos\theta\cdot rdrd\theta$$

$$= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta d\theta \int_0^1 r^2dr = 2\left[\sin\theta\right]_0^{\pi/2} \cdot \frac{1}{3} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$