底面の半径が1、高さが1の直円柱を、底面の中心を通り、底面となす角が45°の平面で2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求めます。

1. 問題の内容

底面の半径が1、高さが1の直円柱を、底面の中心を通り、底面となす角が45°の平面で2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

直円柱の底面を $xy$ 平面、円柱の中心軸を $z$ 軸とし、円柱の底面の中心を原点Oとします。

与えられた平面は、原点Oを通り、$xy$ 平面となす角が45°なので、$z = x$ と表せます。小さい方の立体の体積を求めるには、積分を用いて体積を計算します。

まず、円柱の底面上の点 $(x,y)$ を考えます。この点を通る円柱の断面は、高さが1の線分になります。

この線分のうち、$z=x$ より下にある部分の長さを $h(x,y)$ とします。

$x>0$の範囲では、$h(x,y)=x$となります。

$x<0$の範囲では、$h(x,y)=0$となります。

したがって、小さい方の立体の体積$V$は、

$$V = \iint_{x^2+y^2 \le 1} \max(0, x) dxdy$$

となります。

円柱の底面を極座標で表すと、 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ となります。

$0 \le r \le 1$ であり、 $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$です。積分範囲は、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \cup \frac{3\pi}{2} \le \theta \le 2\pi$ となります。

$\max(0,x) = r\cos\theta$ より、

$$V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{1} r \cos \theta \cdot r dr d\theta$$

$$V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta d\theta \int_{0}^{1} r^2 dr$$

$$V = [\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{1}$$

$$V = (1 - (-1)) \times \frac{1}{3} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

3. 最終的な答え

2/3