NUMBERの6文字を並び替えてできる順列を、辞書式順序で並べる。BEMNRUを1番目とする時、 (1) NUMBERは何番目の文字列か。 (2) 290番目の文字列は何か。

1. 問題の内容

NUMBERの6文字を並び替えてできる順列を、辞書式順序で並べる。BEMNRUを1番目とする時、

(1) NUMBERは何番目の文字列か。

(2) 290番目の文字列は何か。

2. 解き方の手順

(1) NUMBERが何番目かを求める。

まず、アルファベット順に並べた順列を基準にする。NUMBERに含まれる文字をアルファベット順に並べると、B, E, M, N, R, U となる。

- 1文字目がBのとき、残りの5文字の並べ方は $5! = 120$ 通り

- 1文字目がEのとき、残りの5文字の並べ方は $5! = 120$ 通り

- 1文字目がMのとき、残りの5文字の並べ方は $5! = 120$ 通り

NUMBERの1文字目はNなので、Nより小さいB, E, Mで始まる文字列の個数を計算する。

$3 \times 5! = 3 \times 120 = 360$

次に、2文字目を比較する。

- 2文字目がEのとき、残りの4文字の並べ方は $4! = 24$ 通り

NUMBERの2文字目はUなので、Uより小さいE, M, Rで始まる文字列の個数を計算する。Nで始まる文字列は既に360個あるので、NE, NM, NRで始まるものを計算する。

$3 \times 4! = 3 \times 24 = 72$

次に、3文字目を比較する。

- 3文字目がBのとき、残りの3文字の並べ方は $3! = 6$ 通り

- 3文字目がEのとき、残りの3文字の並べ方は $3! = 6$ 通り

NUMBERの3文字目はMなので、Mより小さいB, Eで始まる文字列の個数を計算する。NUの前にNUB, NUEで始まるものを計算する。

$2 \times 3! = 2 \times 6 = 12$

次に、4文字目を比較する。

- 4文字目がBのとき、残りの2文字の並べ方は $2! = 2$ 通り

- 4文字目がEのとき、残りの2文字の並べ方は $2! = 2$ 通り

- 4文字目がRのとき、残りの2文字の並べ方は $2! = 2$ 通り

NUMBERの4文字目はBなので、Bより小さいE, Rで始まる文字列の個数を計算する。NUMの前にNUME, NUMRで始まるものを計算する。

$2 \times 2! = 2 \times 2 = 4$

次に、5文字目を比較する。

- 5文字目がEのとき、残りの1文字の並べ方は $1! = 1$ 通り

NUMBERの5文字目はEなので、Eより小さいものはない。

最後に、6文字目を比較する。

- 6文字目がRである。

したがって、NUMBERの順番は、$360 + 72 + 12 + 4 + 1 = 449$番目となる。

(2) 290番目の文字列を求める。

まず、1文字目を決める。

- 1文字目がBの場合、$5! = 120$通り

- 1文字目がEの場合、$5! = 120$通り

- 1文字目がMの場合、$5! = 120$通り

$120 + 120 = 240 < 290$

$120 + 120 + 120 = 360 > 290$

したがって、1文字目はMである。290 - 240 = 50番目を求める。

次に、2文字目を決める。

- 2文字目がBの場合、$4! = 24$通り

- 2文字目がEの場合、$4! = 24$通り

- 2文字目がNの場合、$4! = 24$通り

$24 + 24 = 48 < 50$

$24 + 24 + 24 = 72 > 50$

したがって、2文字目はNである。50 - 48 = 2番目を求める。

次に、3文字目を決める。残りの文字はB, E, R, U。

- 3文字目がBの場合、$3! = 6$通り

$6 > 2$なので、3文字目はB, E, R, Uのどれか。

- 3文字目がBの場合、$3! = 6$通り

$6 > 2$なので、3文字目はB

次に、4文字目を決める。残りの文字はE, R, U。

- 4文字目がEの場合、$2! = 2$通り

- 4文字目がRの場合、$2! = 2$通り

- 4文字目がUの場合、$2! = 2$通り

$2 = 2$なので、4文字目はE。

2-2 = 0

次に、5文字目を決める。残りの文字はR, U。

- 5文字目がRの場合、$1! = 1$通り

$0<1$なので、5文字目はR

最後に、6文字目を決める。残りの文字はU。

したがって、290番目の文字列はM, N, B, E, R, U。 MNBERU。

3. 最終的な答え

(1) NUMBERは449番目。

(2) 290番目の文字列はMNBERU。