底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心Oを通り、底面となす角が45°の平面でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心Oを通り、底面となす角が45°の平面でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さい方の立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、円柱を平面で切断したときの小さい方の立体の体積を求めることを考える。底面を$x^2 + y^2 \le 1$とし、平面を$z = x + 1$とする。

このとき、$x$ の積分範囲は $-1 \le x \le 1$、$y$ の積分範囲は $-\sqrt{1-x^2} \le y \le \sqrt{1-x^2}$、$z$ の積分範囲は $0 \le z \le x+1$となる。したがって、求める体積$V$は、

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V = \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} (x+1) dy dx

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積分を計算する。

まず、$y$で積分すると、

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\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} (x+1) dy = (x+1) \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} dy = (x+1) [y]_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} = (x+1) (2\sqrt{1-x^2}) = 2(x+1)\sqrt{1-x^2}

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次に、$x$で積分する。

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V = \int_{-1}^1 2(x+1)\sqrt{1-x^2} dx = 2 \int_{-1}^1 x\sqrt{1-x^2} dx + 2 \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx

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$x\sqrt{1-x^2}$ は奇関数なので、$\int_{-1}^1 x\sqrt{1-x^2} dx = 0$。

$\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx$ は半径1の半円の面積を表すので、

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\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}

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したがって、

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V = 2(0) + 2 (\frac{\pi}{2}) = \pi

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求める体積は $\pi /2$ 。

3. 最終的な答え

$\pi/2$