全体集合$U$を15以下の自然数全体の集合とする。 $A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$, $B = \{1, 4, 6, 7, 9\}$ について、以下の集合の要素の個数を求めよ。 (1) $n(A)$ (2) $n(B)$ (3) $n(A \cap B)$ (4) $n(A \cup B)$ (5) $n(\overline{A})$ (6) $n(\overline{B})$ (7) $n(\overline{A \cup B})$ (8) $n(A \cap \overline{B})$ (9) $n(\overline{A} \cap B)$

1. 問題の内容

全体集合$U$を15以下の自然数全体の集合とする。

$A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$, $B = \{1, 4, 6, 7, 9\}$ について、以下の集合の要素の個数を求めよ。

(1) $n(A)$

(2) $n(B)$

(3) $n(A \cap B)$

(4) $n(A \cup B)$

(5) $n(\overline{A})$

(6) $n(\overline{B})$

(7) $n(\overline{A \cup B})$

(8) $n(A \cap \overline{B})$

(9) $n(\overline{A} \cap B)$

2. 解き方の手順

(1) $n(A)$：集合$A$の要素の個数を数える。$A$の要素は1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15の8個なので、$n(A) = 8$。

(2) $n(B)$：集合$B$の要素の個数を数える。$B$の要素は1, 4, 6, 7, 9の5個なので、$n(B) = 5$。

(3) $n(A \cap B)$：$A \cap B$は$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合である。$A \cap B = \{1, 4, 7, 9\}$なので、$n(A \cap B) = 4$。

(4) $n(A \cup B)$：$A \cup B$は$A$または$B$に含まれる要素の集合である。$A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 15\}$なので、$n(A \cup B) = 9$。

または、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 8 + 5 - 4 = 9$。

(5) $n(\overline{A})$：$\overline{A}$は$U$に含まれるが$A$に含まれない要素の集合である。$U = \{1, 2, 3, ..., 15\}$なので、$n(U) = 15$。

$\overline{A} = U - A$より、$n(\overline{A}) = n(U) - n(A) = 15 - 8 = 7$。

(6) $n(\overline{B})$：$\overline{B}$は$U$に含まれるが$B$に含まれない要素の集合である。

$\overline{B} = U - B$より、$n(\overline{B}) = n(U) - n(B) = 15 - 5 = 10$。

(7) $n(\overline{A \cup B})$：$\overline{A \cup B}$は$U$に含まれるが$A \cup B$に含まれない要素の集合である。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B)$より、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 15 - 9 = 6$。

または、ド・モルガンの法則より $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$。

(8) $n(A \cap \overline{B})$：$A \cap \overline{B}$は$A$に含まれるが$B$に含まれない要素の集合である。

$A \cap \overline{B} = A - B = \{2, 8, 12, 15\}$なので、$n(A \cap \overline{B}) = 4$。

(9) $n(\overline{A} \cap B)$：$\overline{A} \cap B$は$B$に含まれるが$A$に含まれない要素の集合である。

$\overline{A} \cap B = B - A = \{6\}$なので、$n(\overline{A} \cap B) = 1$。

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) 5

(3) 4

(4) 9

(5) 7

(6) 10

(7) 6

(8) 4

(9) 1