数列 $\{C_n\}$ が与えられています。初項は $C_1 = 2^{\frac{1}{4}}$ であり、漸化式は $C_{n+1} = \frac{2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}}{C_n}$ です。

1. 問題の内容

数列 $\{C_n\}$ が与えられています。初項は $C_1 = 2^{\frac{1}{4}}$ であり、漸化式は $C_{n+1} = \frac{2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}}{C_n}$ です。

2. 解き方の手順

まず、$C_2$ を計算します。

$C_2 = \frac{2^{\frac{1}{8}(1) + \frac{1}{4}}}{C_1} = \frac{2^{\frac{3}{8}}}{2^{\frac{1}{4}}} = 2^{\frac{3}{8} - \frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}}$

次に、$C_3$ を計算します。

$C_3 = \frac{2^{\frac{1}{8}(2) + \frac{1}{4}}}{C_2} = \frac{2^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{8}}} = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{8}}} = 2^{\frac{1}{2} - \frac{1}{8}} = 2^{\frac{3}{8}}$

さらに、$C_4$ を計算します。

$C_4 = \frac{2^{\frac{1}{8}(3) + \frac{1}{4}}}{C_3} = \frac{2^{\frac{3}{8} + \frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{8}}} = \frac{2^{\frac{5}{8}}}{2^{\frac{3}{8}}} = 2^{\frac{5}{8} - \frac{3}{8}} = 2^{\frac{1}{4}}$

$C_1 = 2^{\frac{1}{4}}$、$C_4 = 2^{\frac{1}{4}}$ となっているので、周期性がありそうです。

$C_{n+1} = \frac{2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}}{C_n}$ より、

$C_{n+1} C_n = 2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}$

$C_{n+2} = \frac{2^{\frac{1}{8}(n+1) + \frac{1}{4}}}{C_{n+1}}$ より、

$C_{n+2} C_{n+1} = 2^{\frac{1}{8}(n+1) + \frac{1}{4}}$

$C_{n+2} = \frac{2^{\frac{1}{8}(n+1) + \frac{1}{4}}}{C_{n+1}} = \frac{2^{\frac{1}{8}(n+1) + \frac{1}{4}}}{\frac{2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}}{C_n}} = \frac{2^{\frac{1}{8}(n+1) + \frac{1}{4}} C_n}{2^{\frac{1}{8}n + \frac{1}{4}}} = 2^{\frac{1}{8}(n+1) + \frac{1}{4} - (\frac{1}{8}n + \frac{1}{4})} C_n = 2^{\frac{1}{8}} C_n$

したがって、$C_{n+2} = 2^{\frac{1}{8}} C_n$。

$C_1 = 2^{\frac{1}{4}}, C_2 = 2^{\frac{1}{8}}, C_3 = 2^{\frac{3}{8}}, C_4 = 2^{\frac{1}{4}}, C_5 = 2^{\frac{1}{8}}2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{8}}, C_6 = 2^{\frac{1}{8}}2^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{1}{4}}$

3. 最終的な答え

$C_{n+2} = 2^{\frac{1}{8}} C_n$